CMR: \(18< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 9 2020
\(S=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}}\)
\(S>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)
\(S>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)
\(S>2\left(\sqrt{101}-1\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\) (1)
\(S< 1+\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(S< 1+2\left(\sqrt{2}-1\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(S< 1+2\left(\sqrt{100}-1\right)=19\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow18< S< 19\)
B
28 tháng 7 2019
\(a,A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)
\(=\frac{1-\sqrt{100}}{-1}=9\)
\(b,B=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{99}}>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)\(\Rightarrow B>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\right)\)
\(\Rightarrow B>2\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow B>2\left(\frac{1-\sqrt{100}}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow B>2.9=18\left(ĐPCM\right)\)
15 tháng 1 2017
\(.1.\)
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
....................
\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)
____________
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}.100=\sqrt{100}=10\)
Vậy : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>0\)
15 tháng 1 2017
Bài 2: Ta thấy:\(\left\{\begin{matrix}\left|2x-6\right|\ge0\\\left|3y+9\right|\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-\left|2x-6\right|\le0\\-\left|3y+9\right|\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\left|2x-6\right|-\left|3y+9\right|\le0\)
\(\Rightarrow-18-\left|2x-6\right|-\left|3y+9\right|\le-18\)
\(\Rightarrow C\le-18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}-\left|2x-6\right|=0\\-\left|3y+9\right|=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(\left\{\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\) thì C đạt GTLN là -18
10 tháng 11 2016
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
\(...........\)
\(\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
\(\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\) (Đpcm)
31 tháng 12 2016
bài này có trong đề thi học kì của mik nè thanks nha mik làm giống hệt bn luôn
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Tổng quát:
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Suy ra: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19\)
\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)
Do đó ta có đpcm.