Biết \(a+b=1\). Chứng minh rằng:
\(a,a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(b,a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
\(c,a^8+b^8\ge\dfrac{1}{128}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 7 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)
\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)
KK
26 tháng 3 2018
b) \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
= \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
=\(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> \(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)(đpcm)
NA
0
22 tháng 3 2018
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 3 2018
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 6 2021
\(VT=1+\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+2b}-1=2\left(\dfrac{1}{2+2a}+\dfrac{1}{1+2b}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{8}{3+2\left(a+b\right)}\ge\dfrac{8}{3+2.2}=\dfrac{8}{7}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
17 tháng 3 2018
a)Svac-so:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2\left(đpcm\right)}\)
b)\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{b^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+1-a^2-1}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{ab+1-b^2-1}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}-\dfrac{a}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b\left(a^2+1\right)-a\left(b^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^2b+b-ab^2-a}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\dfrac{ab-1}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)(luôn đúng)
BN
8 tháng 8 2017
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
T
8 tháng 8 2017
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Đầu tiên em phải dự đoán được điểm rơi (các cặp a;b;c đẹp sao cho \(ab=12\) và \(bc=8\), có các bộ là \(\left(6;2;4\right);\left(3;4;2\right)\)
Sau đó thay 2 bộ kia vào P xem cái nào bằng \(\dfrac{121}{12}\) thì nó đúng (ở đây là 3;4;2)
Khi có điểm rơi, bây giờ chỉ cần tính toán và ghép theo AM-GM để khử tử- mẫu
Cần ghép \(\dfrac{8}{abc}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\) (AM-GM 4 số sẽ khử hết biến)
\(\dfrac{8}{abc}=\dfrac{8}{3.4.2}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=9;y=12;z=6\)
Hay ta có bộ đầu tiên: \(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\)
Tương tự cho các biến dưới mẫu còn lại, phần dư cuối cùng sẽ ghép cặp a với b (tận dụng \(ab\ge12\)) và b với c, nó sẽ tự đủ
áp dụng bất đằng thức buinhia
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
bài cuối tương tự
a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Với mọi a, b ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )
Các câu b, c tương tự