Cho x,y,z>0. Cmr:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}\)+\(\sqrt{\frac{y}{z+x}}\)+\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)>2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
S
11 tháng 8 2019
\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)
T
20 tháng 11 2019
Ta có: \(\frac{1}{2}.2x\left(1-x\right)\left(1-x\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{2x+1-x+1-x}{3}\right]^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-x\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}\left(1-x\right)}\ge\frac{9}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x\). Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được đpcm.
KN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 7 2020
Bài này thuộc loại nổi tiếng lắm
\(VT.\left(x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}}\)
Ta lại có:
\(\sqrt{x}\sqrt{x^3+8xyz}+\sqrt{y}\sqrt{y^3+8zx}+\sqrt{z}\sqrt{z^3+8xyz}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3+24xyz\right)}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge x^3+y^3+z^3+24xyz\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
T
2 tháng 7 2020
IMO 2001!Vô số cách giải! Ở đây mình đưa ra $5$ cách khác.
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx}} +\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \geqq 1$$
Theo AM-GM$:$ \(\begin{align*} \text{LHS} &=\sum\limits_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} =\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{\sqrt{(x^2+8yz)(x+y+z)^2}}\\&\geqq 2\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{(x^2+8yz)+(x+y+z)^2} \geqq 1 \end{align*}\)
Bất đẳng thức cuối tương đương với $$\frac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \left( 8\,{x}^{3}y+31\,{x}^{2}{y}^{2}+8\,x{y}^{3}+202\,x{y}^{2}z+262
\,xy{z}^{2}+202\,x{z}^{3}+79\,{z}^{4} \right) \left( x-y \right) ^{2}
\geqq 0$$
Xong!
Cách 2: Dùng bổ đề do NguyenHuyen_AG đề xuất$:$
$${\frac {a}{\sqrt {a^{2} + 8bc}}}\geqq {\frac {a(5a + 2b + 2c)}{5\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + 4(bc + ca + ab)}}.$$
Việc chứng minh bổ đề này tương đối đơn giản$,$ bạn có thể tự làm.
Cách 3: Chứng minh theo trình tự$:$ $$\sum_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8xy}}\geq\sum_{cyc}\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+z^{\frac{4}{3}}}=1$$
Cách 4: Dùng Holder (cách này khá quen thuộc)
Cách 5$:$ Dùng phương pháp phản chứng.
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z+x}\ge\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\ge\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\). Cộng theo vế: \(VT\ge2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên VT>2