C/m:
a(a + b)(a + c)(a+b+c) + b2c2 \(\ge\)0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
TD
9 tháng 8 2017
đầu bài có phải ntn ko?
\(\overline{abab}=\overline{cdcd}\left(a,b,c,d\ne0\right)\). Chứng minh \(\overline{a2}.\overline{b2c2}.\overline{d2a2}.\overline{b2c2}.\overline{d2}=\left(a-b\right)2.\left(c-d\right)2\)
Mà cái đầu bài bn viết khó hiểu thế 
.
CC
0
NT
1
10 tháng 7 2017
( ab + bc + ca )^2 = a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2 + 2abc( a + b + c )
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc.0 ( vì a + b + c = 0)
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 6 2020
a/ \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\)
\(\Leftrightarrow b^2-ab+ac-bc\le0\)
\(\Leftrightarrow b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(b-a\right)\le0\) (luôn đúng do \(a\ge b\ge c\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)
b/ Tương tự như câu trên:
\(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c\right)^2-d^2=\left(a-b+c-d\right)\left(a-b+c+d\right)\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
HN
14 tháng 7 2017
a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
HN
14 tháng 7 2017
b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
8 tháng 1 2021
hơn 1 năm rồi không ai làm :'(
a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
10 tháng 9 2020
Ta có:
\(L=\frac{\sum\left(abc+a^2b+ca^2+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3abc+2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}{2abc+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\).
Ta chứng minh \(L\ge\frac{3}{2}\). (*)
Thật vậy:
\(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab^2+bc^2+ca^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\ge0\left(Q.E.D\right)\).
(*) được chứng minh.
Vậy Min P = 0,125 khi a = b = c.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 9 2020
\(L=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=1-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
\(L=b\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\)
\(L=\frac{b\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}=\left(a-c\right)\left(\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)+\frac{3}{2}\)
\(L=\left(a-c\right)\left(\frac{ab+bc-ac-b^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)+\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi ít nhất 2 trong 3 số bằng nhau
LB
1
CT
1
TN
15 tháng 9 2019
\(GT\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\) 2 số =0, 1 số =\(\sqrt{3}\)
=(a2+ac+ba+bc)(a2+ab+ac)+b2c2
=(a2+ab+ac)2+bc(a2+ab+ac)+b2c2 (2)
Đặt m=a2+ab+ac và n=bc
(2) viết lại thành : m2+mn+n2 = m2+2*m*n/2+n2/4+n2*3/4
\(=\left(m+\frac{n}{2}\right)^2+\frac{3n^2}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)