Question

[Nguyễn Tuấn]

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BA, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Hình chiếu của các điểm B, C, D trên EF lần lượt là X, Y, K. a) CMR: BD.KC=BK.CD b) Gọi G là điểm nằm trên cung nhỏ EF của đường tròn (I). Tiếp tuyến tại G của đường tròn (I) cắt AB, AC tại T, J. Tìm vị trí của G cung nhỏ EF để diện tích tam giác ATJ đạt giá trị lớn nhất. c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. CMR: IKD=HKD Chỉ được dùng kiến thức hk1 lớp 9. Giúp tớ với ạ! Mai tớ phải nộp rùii

Answer 1

[An Thy]

a) Ta có: AE,AF là tiếp tuyến \(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A

\(\Rightarrow\angle AEF=\angle AFE\Rightarrow\angle BFX=\angle CEY\)

Xét \(\Delta BFX\) và \(\Delta CEY:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BFX=\angle CEY\\\angle BXF=\angle CYE=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BFX\sim\Delta CEY\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{BX}{CY}\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}BF=BD\\CE=CD\end{matrix}\right.\) (tính chất tiếp tuyến) \(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BX}{CY}\)

Vì \(BX\parallel DK\parallel CY\) \(\Rightarrow\dfrac{XK}{KY}=\dfrac{BD}{CD}\Rightarrow\dfrac{BX}{CY}=\dfrac{XK}{KY}\)

Xét \(\Delta BKX\) và \(\Delta CKY:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BK}{CY}=\dfrac{KX}{KY}\\\angle BXK=\angle CYK=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BKX\sim\Delta CKY\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle BKX=\angle CKY\)

\(\Rightarrow90-\angle BKX=90-\angle CKY\Rightarrow\angle BKD=\angle CKD\)

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BD}{CD}\Rightarrow BD.CK=BK.CD\)