Question

[Thạch Tít]

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. J là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh:

a. \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\)

b. Tam giác CHK đồng dạng yam giác BCA

c. AB. AH + AD. AK= AC²

d. IM. IN=ID²

e. \(\frac{JM}{JN}=\frac{DM}{DN}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D H K I M N J P 1 2

a) Ta có: Tứ giác ABCD là hình bình hành => ^ABC = ^ADC => 180⁰ - ^ABC = 180⁰ -^ADC

=> ^CBH = ^CDK. 

Xét \(\Delta\)CHB và \(\Delta\)CKD: ^CHB=^CKD (=90⁰); ^CBH=^CDK => \(\Delta\)CHB ~ \(\Delta\)CKD (g.g)

=> \(\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\)(đpcm).

b) Ta có: \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\)(câu a) nên \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{AB}\)(Do CD=AB) hay \(\frac{CB}{CH}=\frac{AB}{CK}\)

Thấy: ^ABC là góc ngoài \(\Delta\)CHB => ^ABC = ^CHB + ^HCB = 90⁰ + ^HCB (1)

BC // AD; CK vuông góc AD tại K => CK vuông góc BC (Quan hệ song song vuông góc)

=> ^BCK=90⁰ => ^KCH = ^HCB + ^BCK = ^HCB + 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ABC = ^KCH

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)KCH: ^ABC = ^KCH; \(\frac{CB}{CH}=\frac{AB}{CK}\)=> \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)KCH (c.g.c) (đpcm).

c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của D lên đường chéo AC.

Xét \(\Delta\)APD và \(\Delta\)AKC: ^APD = ^AKC (=90⁰); ^A₁ chung => \(\Delta\)APD ~ \(\Delta\)AKC (g.g)

=> \(\frac{AP}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AP.AC\)(3)

Xét \(\Delta\)DPC và \(\Delta\)CHA: ^DPC = ^CHA (=90⁰); ^DCP=^A₂ (Do AB//CD)

=> \(\Delta\)DPC ~ \(\Delta\)CHA (g.g) => \(\frac{CD}{AC}=\frac{CP}{AH}\Rightarrow CD.AH=CP.AC\)

Mà CD=AB nên \(AB.AH=CP.AC\)(4)

Cộng (3) với (4) theo vế: \(AB.AH+AD.AK=CP.AC+AP.AC=AC.\left(CP+AP\right)\)

\(\Rightarrow AB.AH+AD.AK=AC.AC=AC^2\)(đpcm).

d) Áp dụng hệ quả ĐL Thales ta được: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IC}{IA}\)(AM//CD)

Lại có: \(\frac{IC}{IA}=\frac{IN}{ID}\)(CN//AD). Suy ra: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IN}{ID}\Rightarrow IM.IN=ID^2\)(đpcm).

e) Ta có: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IN}{ID}\)(cmt). Mà ID=IJ.

=> \(\frac{IJ}{IM}=\frac{IN}{IJ}\Rightarrow\frac{IM}{IJ}=\frac{IJ}{IN}=\frac{IM-IJ}{IJ-IN}=\frac{JM}{JN}\)(T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{ID}{IN}=\frac{JM}{JN}\). Lại có: \(\frac{ID}{IN}=\frac{AD}{CN}=\frac{BC}{CN}=\frac{DM}{DN}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Từ đó suy ra: \(\frac{JM}{JN}=\frac{DM}{DN}\)(đpcm).