Cho đa thức \(f\left(x\right)\)thỏa mãn điều kiện :
\(x.f\left(x-2\right)=\left(x-4\right).f\left(x\right)\)
Chứng minh rằng đa thức\(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay x = -3 thì 1 là nghiệm của P(x)
Thay x = 5 thì 5 là nghiệm của P(x)
Vậy P(x) có ít nhất 2 nghiệm là 1 và 5.
Chúc bạn học tốt.
\(\left(x^2-25\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right).f\left(x-1\right)\) (1)
Thay \(x=2\) vào (1) ta được:
\(-21.f\left(3\right)=0.f\left(1\right)=0\Rightarrow f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow x=3\) là 1 nghiệm của \(f\left(x\right)\)
Thay \(x=5\) vào (1):
\(0.f\left(6\right)=3.f\left(4\right)\Rightarrow f\left(4\right)=0\)
\(\Rightarrow x=4\) là 1 nghiệm
Thay \(x=-5\) vào (1):
\(0.f\left(-4\right)=-7.f\left(-6\right)\Rightarrow f\left(-6\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-6\) là 1 nghiệm
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm là \(x=\left\{3;4;-6\right\}\)
\(x.f\left(x+2\right)=\left(x^2-9\right).f\left(x\right)\)
+ Thay \(x=3\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:
\(3.f\left(3+2\right)=\left(3^2-9\right).f\left(3\right)\)
\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=\left(9-9\right).f\left(3\right)\)
\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=0.f\left(3\right)\)
\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=0\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)=0:3\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)=0.\)
Vậy \(x=5\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (1).
+ Thay \(x=-3\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:
\(-3.f\left[\left(-3\right)+2\right]=\left[\left(-3\right)^2-9\right].f\left(-3\right)\)
\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=\left(9-9\right).f\left(-3\right)\)
\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=0.f\left(-3\right)\)
\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0:\left(-3\right)\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0.\)
Vậy \(x=-1\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (2).
+ Thay \(x=0\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:
\(0.f\left(0+2\right)=\left(0^2-9\right).f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow0.f\left(2\right)=\left(0-9\right).f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow0=-9.f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)=0:\left(-9\right)\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)=0.\)
Vậy \(x=0\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (3).
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\) Đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm đó là: \(x=3;x=-3\) và \(x=0\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Tham khảo :
Xét với x=3x=3 thì : 3.f(5)=(32−9).f(3)3.f(5)=(32−9).f(3)
⇒3.f(5)=0⇒f(5)=0⇒3.f(5)=0⇒f(5)=0 (*)
Xét với x=0⇔0=−9.f(0)⇒f(0)=0x=0⇔0=−9.f(0)⇒f(0)=0
nên x=0x=0 là 1 nghiệm của đa thức f(x)f(x) (1)
Xét với x=−3⇔3.f(−1)=0⇒f(−1)=0x=−3⇔3.f(−1)=0⇒f(−1)=0
nên x=−1x=−1 là 1 nghiệm của đa thức f(x)f(x) (2)
Từ (*)(1)(2) ⇒⇒ f(x)f(x) có ít nhất 3 nghiệm.
1) Thay x=3 vào đẳng thức, thu được:
\(3\times f\left(3+2\right)=\left(3^2-9\right)\times f\left(3\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\times f\left(5\right)=0\times f\left(3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(f\left(5\right)=0\)
2) Ta đã chứng minh x=5 là nhiệm của f(x)\(\Rightarrow\)Cần chứng minh f(x) có 2 nghiệm nữa
\(0\times f\left(0+2\right)=\left(0^2-9\right)\times f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(f\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow\)x=0 là ngiệm của f(x)
\(-3\times f\left(-3+2\right)=\left(\left(-3\right)^2-9\right)\times f\left(-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(-3\times f\left(-1\right)=0\times f\left(-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(f\left(-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\)x=-1 là nghiệm của f(x)
Vậy f(x) có ít nhất 3 nghiệm là x=5; x=0; x=-1
+) Với x = 0 ta có :
\(0.f\left(0-2\right)=\left(0-4\right).f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow0.f\left(-2\right)=-4.f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow0=-4.f\left(0\right)\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)=0\)
Như vậy x = 0 là một nghiệm của đa thức f(x)
+) Với x = 4 ta có :
\(4.f\left(4-2\right)=\left(4-4\right).f\left(4\right)\)
\(\Rightarrow4.f\left(2\right)=0.f\left(4\right)\)
\(\Rightarrow4.f\left(2\right)=0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=0\)
Như vậy x = 4 là một nghiệm của đa thức f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm
_Chúc bạn học tốt_
Bài giải
Cho \(x=0\)thì \(0.f\left(-2\right)=-4.f\left(0\right)=0\)
Cho \(x=2\)thì \(2.f\left(0\right)=-2.f\left(2\right)\)nên \(f\left(2\right)=-f\left(0\right)=0\)
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm là \(0\) và \(2\).