Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VL
1
13 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}\cdot\frac{b^3}{c^3}\cdot\frac{c^3}{a^3}}=3\)
Xảy ra khi a=b=c
Thế là done cái điều kiện thừa :v
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2020
\(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2a+2b+2c\)
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(\frac{3}{a+2b}=\frac{3}{a+b+b}\le\frac{3}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)\)
Tương tự: \(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\) ; \(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\le\frac{1}{3}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TH
1
TA
27 tháng 7 2017
Ta có
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\) (1)
Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2}\) (2)
và \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ca+a}{2}\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
\(VT\ge\left(a+b+c+3\right)-\frac{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TN
3 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\)
\(\ge3+3-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
C
17 tháng 3 2016
Ta có: \(a+1-\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2+b^2}{2b}=\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}\) vì \(b^2+1\ge2b\)
nên \(\frac{a+1}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b}{2}-\frac{ab}{2}\) Tương tự:
Vậy ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Vì \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
nên \(VT\ge3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}3=3+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c>0\)
Đã có 3 lời giải ở link này: Câu hỏi của tth_new - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Và sau đây là lời giải bằng S*O*S dao lam cực đẹp và lại cồng kềnh nữa
(cười!)
Do a, b, c có vai trò hoán vị vòng quanh, không mất tính tổng quát,giả sử \(c=max\left\{a,b,c\right\}\)
\(VT-VP=\frac{b\left(c-a\right)\left(4c-b\right)\left(a-b\right)^2+c\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\left(a+b-2c\right)^2}{abc\left[\left(c-a\right)\left(4c-b\right)+\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\right]}\)