Question

[Vũ Thu Thủy]

cho hệ phương trình:

x+ay=1

ax+y=2

a/ với giá trị nào của a thì hpt có no duy nhất (x;y) sao cho x+y>0

Answer 1

[Vũ Thùy Trang]

(I)  \(\hept{\begin{cases}x+ay=1\\ax+y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+ay=1\\a^2x+ay=2a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(1-a^2\right)x=1-2a\left(1\right)\\x+ay=1\left(2\right)\end{cases}}\)               

     Để hpt(I) có nghiệm duy nhất thì pt(1) có nghiệm duy nhất:

\(\Rightarrow1-a^2\ne0\)

\(\Leftrightarrow a\ne1\)và\(a\ne-1\)

giải pt(1),ta có:\(\left(1-a^2\right)x=1-2a\)

                    \(\Leftrightarrow x=\frac{1-2a}{1-a^2}\)

thay x vào pt (2),ta có:\(\frac{1-2a}{1-a^2}+ay=1\)

                                   \(\Leftrightarrow ay=1-\frac{1-2a}{1-a^2}\)

                                \(\Leftrightarrow y=\frac{1-a^2-1+2a}{1-a^2}.\frac{1}{a}\)

                                 \(\Leftrightarrow y=\frac{2-a}{1-a^2}\)

Để x+y>0\(\Rightarrow\frac{1-2a}{1-a^2}+\frac{2-a}{1-a^2}>0\)

                   \(\Leftrightarrow\frac{3\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}>0\)

                  \(\Leftrightarrow\frac{3}{1+a}>0\)

Vì 3>0 nên để x+y>0 thì \(1+a>0\Leftrightarrow a>-1\)

 Kết hợp với điều kiện \(\Rightarrow-1< a\ne1và-1\)