Cho a,b,c>0 và abc=1 tìm GTNN CỦa P=(a+1)(b+1)(c+1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
3
MN
15 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a.1}=2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b.1}=2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c.1}=2\sqrt{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=1\)
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) \(\ge\)\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8.\sqrt{abc}=8\)
Vậy Min P = 8 <=> a = b = c = 1
RR
15 tháng 5 2018
Cauchy :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8.\sqrt{abc}=8\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1
LH
0
TK
1
TN
1
T
27 tháng 1 2019
Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)
\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)
\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)
\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)
Tới đây bí:v
S
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 1 2021
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
\(\Rightarrow3.P\ge9\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có : abc = 1
<=> a = \(\frac{1}{bc}\)
\(b=\frac{1}{ac}\)
\(c=\frac{1}{ab}\)
Ta có : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)
Áp dụng bđt cô si ta có :
\(\frac{1}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{abc}{bc}}=2\sqrt{a}\)
\(\frac{1}{ac}+abc\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{1}{ab}+abc\ge2\sqrt{c}\)
Nên : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)\(\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8.1=8\)
Vây Pmin = 8 khi a = b = c = 1
Hai ô tô cùng khởi hành 1 lúc đi từ
A đến B dài 240km, vì mỗi giờ
ô tô thứ 1 đi nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12km nên nó đến trước ô tô thứ 2 là 1h40'. Tí
nh vận tốc của mỗi ô tô?