Cho 3 số a,b,c thõa mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\a^3+b^3+c^3=1\end{cases}}\)
Tính \(a+b^2+c^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 12 2021
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
=> đpcm
b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)
=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)
S
21 tháng 6 2020
\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow-1\le a;b;c\le1\text{ ta có:}\)
\(a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3=a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow\text{ 1 số bằng 1; 2 số bằng 1}\)
do đó:a+b2+c3=1
21 tháng 6 2020
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\left(1\right)\\a^3+b^3+c^3=1\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: ( 1) => \(a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\) => \(-1\le a\le1;-1\le b\le1;-1\le c\le1\)
=> \(\left(a-1\right)\le0;\left(b-1\right)\le0;\left(c-1\right)\le0\)
<=> \(a^2\left(a-1\right)\le0;b^2\left(b-1\right)\le0;c^2\left(c-1\right)\le0\)
Lấy (2) - (1) ta có: \(a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)
<=> \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)(1)
TH1) Tồn tại ít nhất 1 số trong 3 số: \(a^2\left(a-1\right);b^2\left(b-1\right);c^2\left(c-1\right)< 0\)
=> vô lí
Th2) Cả 3 số bằng 0
(1) <=> \(a^2\left(a-1\right)=b^2\left(b-1\right)=c^2\left(c-1\right)=0\)
Mặt khác \(a^2+b^2+c^2=1\)
Do đó chỉ có các nghiệm: ( 1; 0; 0) hoặc (0; 0; 1) hoặc ( 0; 1; 0 ) thỏa mãn
Vậy tổng a + b^2 + b^3 = 1
FM
17 tháng 3 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Do a+b+c khác ) nên:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2]=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Do đó:
Q=\(\frac{a^2+3b^2+5c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9a^2}{9a^2}=1\)
có giá trị ko đổi
9 tháng 10 2020
Ta có: \(ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-a^2-b^2-c^2}{2}=0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\)
\(\Rightarrow abc=0\)
Từ đó ta có hpt\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\ab+bc+ca=0\\abc=0\end{cases}}\). Theo định lý Viet suy ra a,b,c là các nghiệm của \(x^3-x^2=0\Leftrightarrow x.x\left(x-1\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a,b,c\right)=\left(1,0,0\right)\)và các hoán vị
Khi đó: \(a^{2019}+b^{2020}+c^{2021}=1\)
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\) , ta có thể suy ra rằng \(\hept{\begin{cases}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{cases}}\)
Ta Có \(a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3=0\)
<=> \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\)
Nhận thấy \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\)
Nên suy ra \(\hept{\begin{cases}a\left(1-a\right)=0\\b\left(1-b\right)=0\\c\left(1-c\right)=0\end{cases}}\) Vậy tồn tại trong ba số a,b,c có một số bằng 1
Kết hợp Với \(a^2+b^2+c^2=1\)
Suy ra hai số còn lại bằng 0
Vậy \(a+b^2+c^3=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2\right)+\left(b^3-b^2\right)+\left(c^3-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a.\left(a^2-1\right)+b.\left(b^2-1\right)+c.\left(c^2-1\right)=0\)
Vì \(a.\left(a^2-1\right)\ge0;b.\left(b^2-1\right)\ge0;c.\left(c^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a.\left(a^2-1\right)=0;b.\left(b^2-1\right)=0;c.\left(c^2-1\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}a.\left(a^2-1\right)=0\\b.\left(b^2-1\right)=0\\c.\left(c^2-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0;\pm1\\b=0;\pm1\\c=0;\pm1\end{cases}}}\)
rồi bn tings bốt hộ mk
mk mới lớp 6 lên cứ làm bừa
mk giải nhì toán leenbuafw thôi