Cho a, b là hai số bất kỳ. Chứng minh rằng :
a²+b²/2 >= (a+b/2)²
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2018
bđt\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(luôn đúng do bđt bunhia copxki)
TN
1 tháng 4 2017
Ta chứng minh BĐT tổng quát
\(\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\right)\left(b_1+b_2+...+b_n\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) (ĐPCM)
BĐT này đúng với BĐT đề bài cho 2 số \(x,y\) dương
T/b: sau này BĐT thông dụng thì tên nó sẽ là BĐT C-S dạng Engel hay BĐT Svac :)
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)>=\left(a+b\right)^2\)(bđt bunhiacopxki) dấu = xảy ra khi a=b
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)>=\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\cdot2\left(a^2+b^2\right)=4\left(a^2+b^2\right)>=2\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
vậy \(\frac{a^2+b^2}{2}>=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)dấu = xảy ra khi a=b