Question

[ochanomizu]

CMR :\(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)la phan so toi gian

Answer 1

[Trần Quốc Đại Nghĩa]

  Đặt ƯCLN( a² + a - 1 ;a²+ a + a ) =d 

Ta có :

         a² + a - 1  chia hết cho d

         a² + a + 1 chia hết cho d

 => ( a² + a  + 1 ) - (  a² + a - 1 )  chia hết cho d

     =>  2 chia hết cho d

         =>  . . . . .      

Answer 2

[Phùng Minh Quân]

Gọi \(ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)=d\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2+a-1⋮d\\a^2+a+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+a+1\right)-\left(a^2+a-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+a+1-a^2-a+1⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(2⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(d\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)=\left\{1;-1;2-2\right\}\)

Lại có : 

\(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}=\frac{a\left(a+1\right)-1}{a\left(a+1\right)+1}\)

Vì hai số nguyên liên tiếp bất kì luôn có một số chẵn và một số lẻ, nên tích của chúng sẽ là một số chẵn. 

\(\Rightarrow\)\(a\left(a+1\right)\) chẵn 

\(\Rightarrow\)\(a\left(a+1\right)-1\) và \(a\left(a+1\right)+1\) lẻ ( vì liền sau và liền trước của một số chẵn là một số lẻ ) 

Mà số lẻ không chia hết cho \(2\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(a+1\right)-1⋮̸2\\a\left(a+1\right)+1⋮̸2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2+a-1⋮̸2\\a^2+a+1⋮̸2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\) là phân số tối giản ( vì tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau ) 

Vậy \(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\) là phân số tối giản 

Chúc bạn học tốt ~