Question

[Yim Yim]

cho x,y,z là ba số không âm thỏa mãn:

\(x^2+y^2+z^2\le3y\)

Tìm GTNN của :

\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{4}{\left(y+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Cần chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\forall a;b>0\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Mà \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\) (đpcm)

Áp dụng ta được :

\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{y}{2}+1\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\ge\frac{8}{\left(x+\frac{y}{2}+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)

\(\ge\frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5\right)^2}\)

Ta có : \(\left(x^2+1\right)+\left(y^2+4\right)+\left(z^2+1\right)\ge2x+4y+2z\)

\(\Leftrightarrow3y+6\ge2x+4y+2z\Rightarrow6\ge2x+y+2z\)

\(\Rightarrow x+\frac{y}{2}+z\le3\)\(\Rightarrow P\ge\frac{64}{\left(3+5\right)^2}=1\)

Vậy Min P = 1 Tại \(x=1;y=2;z=1\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Lụa]

em ko hiểu mọi người thích cái người ? tk cho mà lại thích nhỉ 

em thì thích OLM lựa chọn để có điểm cơ như thế mới có điểm .