Question

[nguyen tan 12]

cho x y là 2 số thực thỏa mãn xy >=1, chung minh rang 1/1+X2+1/1+Y2>=2/1+XY

Answer 1

[nguyen tan 12]

khong dung bdt cosi nhe

Answer 2

[Không Tên]

bài này ko dùng cô-si nhé, đề chỉ cho x,y là số thực và thỏa mãn \(xy\ge1\) chứ ko nói j đến dương, tham khảo bài lm của mk nhé:

                                BÀI LÀM

       \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}+\frac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)

đến đây bn tự giải thích và làm tiếp nhé

CÁCH 2:    \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+y^2+x^2+x^2y^2}\)

Ta luôn có:   \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)

Áp dụng BĐT trên ta có:   \(x^2+y^2\ge2xy\) mà   \(xy\ge1\) nên  \(x^2+y^2\ge2\)

\(xy\ge1\)  \(\Rightarrow\)\(\left(xy\right)^2=x^2y^2\ge1\)

Khi đó:    \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2+x^2y^2}\ge\frac{2xy+1}{2xy+1+1}\ge\frac{2+2}{2xy+2}=\frac{4}{2\left(xy+1\right)}=\frac{2}{1+xy}\)

\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{2}{1+xy}\)hay   \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (đpcm)