choa>0 và b>0 , chứng tỏ rằng: (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))\(\ge\) 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
2
17 tháng 8 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-9abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+abc+abc+ab^2+b^2c+abc+ac^2+bc^2-9abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(ab^2-2abc+ac^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-b\right)^2+c\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a;b;c>0\))
Vật bđt đã đc chứng minh
17 tháng 8 2017
Cho a,b,c>0 thì dễ thôi :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
Khi a=b=c
TQ
2
VT
4 tháng 1 2018
Ta cần chứng minh BĐT phụ sau là : Với x,y>0 thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow y\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
dấu = xảy ra <=> x=y
Áp dụng BĐT phụ đó , ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=1/2
4 tháng 1 2018
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{1+1+1}{ab+a+b+1}=\frac{3}{ab+1+1}\)
\(=\frac{3}{a\left(1-a\right)+2}=\frac{3}{a-a^2+2}=\frac{3}{-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{4}}=\frac{3}{-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\)
\(\ge\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
29 tháng 11 2016
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ba+bc}+\frac{c^4}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
LN
2
7 tháng 4 2019
Vì a, b >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô - si , ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
Mad a,b >0 \(\Rightarrow\frac{1}{a},\frac{1}{b}\)cũng lớn hơn 0 , áp dụng Cô - si ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}\)=\(4\)
Vậy \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(đpcm\right)\)
Cứ có bài toán nào đề bài cho là lớn hơn 0 thì cậu nghĩ ngay tới cô si nhé
7 tháng 4 2019
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
a2+ b2 \(\ge\)2ab
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge\frac{4ab}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge4\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) ( ĐPCM)
HT
10
T
28 tháng 7 2019
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) (do a,b,c >0)
Ta có đpcm
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
TI
1
VT
5 tháng 2 2018
ta cần chứng minh BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x,y>0( cái này biến đổi tương đương sẽ ra)
Áp dụng ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\left(ĐPCM\right)\)
^_^