Question

[phan gia huy]

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm  C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.

a) Chứng minh AB²=4.AC.BD

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M. Chứng minh AC=CM

c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH

d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta\)CAO và \(\Delta\)OBD: ^CAO=^OBD=90⁰; ^AOC=^BDO (Cùng phụ ^BOD)

=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (g.g) => \(\frac{AC}{BO}=\frac{AO}{BD}\Rightarrow AO.BO=AC.BD\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=AC.BD\Leftrightarrow\frac{1}{4}AB^2=AC.BD\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4.AC.BD\)(đpcm)

b) Ta có: \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (cmt) => \(\frac{AC}{OB}=\frac{OC}{OD}\) hay \(\frac{AC}{OA}=\frac{OC}{OD}\) (Do OA=OB)

=> \(\frac{AC}{OC}=\frac{OA}{OD}\)=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)COD (Cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> ^ACO=^OCD hay ^ACO=^MCO => \(\Delta\)CAO=\(\Delta\)CMO (Cạnh huyền góc nhọn)

=> AC=CM (đpcm).