chứng minh rằng:1/5<1/4^2+1/5^2+1/6^2+...+1/100^2<1/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 9 2017
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
HQ
0
ND
0
P
2
CC
6 tháng 2 2020
*Có : 52 < 5.6 => \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)
62 < 6.7 =>\(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)
....
1002 < 100 . 101 => \(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)
Cộng từng vế có :
\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)
\(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
\(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\)
Mà \(\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{101-5}{105}=\frac{96}{505}\)
=> \(A>\frac{96}{505}\)
Mà \(\frac{1}{6}=\frac{96}{576}< \frac{96}{505}\)
=> \(A>\frac{1}{6}\)(1)
*Có 52 > 5.4 => \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{5.4}\)
.......
1002 > 100.99 => \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100.99}\)
Cộng từng vế có :
........ => A < \(\frac{96}{400}\)
Có \(\frac{1}{4}=\frac{100}{400}>\frac{96}{400}\)
=> A < \(\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1)(2) => đpcm
24 tháng 7 2021
\(\text{Ta thấy :}\)
\(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)
\(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)
\(......................................\)
\(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{101-5}{105}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{6}\left(1\right)\)
\(\text{Lại thấy :}\)
\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{5.4}\)
\(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\)
\(..................................\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100.99}\)
\(\text{Tương tự như trên ta tính được }:\)
\(A< \frac{96}{400}< \frac{100}{400}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}\left(2\right)\)
\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\)
DT
1
5 tháng 9 2019
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Ta có A =1/1.2+1/3.4+1/5.6+...+1/99.100
=(1/1.2+1/3.4)+(1/5.6+...+1/99.100)
=7/12+(1/5.6+...+1/99.100)>7/12(1)
A=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/99-1/100
=(1+1/3+1/5+...+1/99)-(1/2+1/4+..+1/100)
=(1+1/2+1/3+1/4+..+1/99+1/100)-2(1/2+1/4+....+1/100) ( Cộng thêm cả 2 vế với 1/2+1/4+..+1/100)
=(1+1/2+1/3+..+1/100)-(1+1/2+..+1/50)
=1/51+1/52+..+1/100
Dãy số trên có 50 số hang 50 chia hết cho 10 nên ta nhóm 10 số vào 1 nhóm
A=(1/51+1/52+..+1/60)+(1/61+1/62+..+1/70)+(1/71+1/72+..+1/80)+(1/81+..+1/90)+(1/91+..+1/100)
<1/50.10+1/60.10+1/70.10+1/80.10+1/90.10=1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<1/5+1/6+1/7.3=167/210<175/210=5/6
=>A<5/6(2)
từ 1 và 2 => đpcm
DN
0
LP
1
11 tháng 2 2016
1/5^2< 1/4.5=1/4-1/5
1/6^2<1/5.6=1/5-1/6
..
1/99^2<1/98.99=1/98-1/99
1/100^2<1/99.100=1/99-1/100
Cộng vế theo vế, đơn giản:
=> 1/5^2+1/6^2+...+1/100^2< 1/4 -1/100<1/4
**
1/5^2> 1/5.6=1/5-1/6
1/6^2>1/6.7=1/6-1/7
1/99^2>1/99.100=1/99-1/100
1/100^2>1/100.101=1/100-1/101
Cộng vế theo vế, đơn giản:
=> 1/5^2+1/6^2+...+1/100^2>1/5 -1/101=96/505>1/6
Vậy:
1/6<1/5^2+1/6^2+...+1/100^2<1/4.