Cho \(\text{a + b = 2}\). Chứng minh:\(a^4+b^4\ge2\)(Áp dụng bđt Bunniacopxki)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 7 2017
bài này chỉ ở dạng trung trung thôi, có 2 cái link 1 tổng quát 2 hiệu quát ko biết giúp j dc ko
-tổng quát: Học tại nhà - Toán - Toán hay hay
-hiệu quát: Học tại nhà - Toán - (Bài Toán Thách Thức )
BĐT dạng k hay n là t ngu lắm ko giúp dc :v
TQ
5
23 tháng 11 2019
Lê thị hương giang Có ai bắt bạn giải đâu mà lớp 5 các kiểu ????
Áp dụng BĐT phụ sau:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^4}{8}=2\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1
10 tháng 11 2016
Bài 1:
a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)
b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)
\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)
c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)
\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)
\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)
d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)
9 tháng 11 2016
a/ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ; \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế :
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
b/ \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{c+b+2a}\)
Cộng theo vế :
\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
NT
2
26 tháng 8 2017
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2.1+b^2.1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần nữa ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{2^2}{2}=2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
26 tháng 8 2017
Có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
<=> \(2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2\) (1) (chỗ này mk bình phương 2 vế nên nhé)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\) (2)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(16\le8\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^4+b^4\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
P/S: trình bày sai chỗ nào thì m.n góp ý nha