cho các sỗ thực x,y thỏa mãn x+y =2 tìm gtnn của biểu thức Q=\(x^3+y^3+x^2+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
27 tháng 6 2018
Đặt \(x+\sqrt{1+x^2}=a\Rightarrow a-x=\sqrt{1+x^2}\Rightarrow a^2-2ax+x^2=1+x^2\)
=> \(a^2-1=2ax\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\)
Tương tự, đặt \(y+\sqrt{1+y^2}=b\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left(b-\frac{1}{b}\right)\)
=> x+y=\(\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{3}{3a}+\frac{3}{3b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b\right)\)(vì ab=3)
=\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
Mà \(\left(a+b\right)^2\ge2ab=6\Rightarrow a+b\ge\sqrt{6}\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{\sqrt{6}}{3}\)
dấu = xảy ra <=> a=b<=> x=y bạn tự thay vào và tự tìm nhá
^_^
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2021
\(Q=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(Q=8-6xy+4-2xy=12-8xy\)
\(Q=12-8x\left(2-x\right)=12-16x+8x^2=8\left(x-1\right)^2+4\ge4\)
\(Q_{min}=4\) khi \(x=y=1\)
13 tháng 4 2022
We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)
\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)
x + y \(\ge3\) \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)
28 tháng 1 2021
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
25 tháng 4 2019
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
21 tháng 2 2019
Dự đoán dấu "=" khi x = 2 ; y= 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số và bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\) ta được
\(P=2x^2+y^2+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{7x^2}{4}+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{7x^2.14.14}{4.x^2}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2.1.1}{2.2y.2y}}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4+2}\)
\(=3.\sqrt[3]{\frac{7.14.14}{4}}+\frac{3}{\sqrt[3]{2^3}}+\frac{3^2}{6}=24\)
Dấu "=" khi x = 2 ; y = 1
T
21 tháng 2 2019
Bài toán easy!
\(P=\left(2x^2+8\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(P\ge8x+2y+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
\(=\left(7x+\frac{28}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge2\sqrt{7x.\frac{28}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge28+2+3-9=24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x^2=8\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
3 tháng 8 2020
\(T=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)
\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{9}+\frac{1}{x+y}\right)+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7x}{9}-5\)
\(\ge0+0+2\sqrt{\frac{x}{4}\cdot\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{x+y}{9}\cdot\frac{1}{x+y}}+\frac{17\cdot3}{9}+\frac{7\cdot2}{9}-5\)
\(=\frac{35}{9}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=2;y=1
3 tháng 8 2020
Đặt x = 2t
đưa bài toán về dạng:
\(T=4t^2+y^2+\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t+y}\ge\left(t^2+t^2+y^2\right)+\frac{1}{2t+y}+\left(2t^2+\frac{1}{2t}\right)\)
\(\ge\frac{\left(2t+y\right)^2}{3}+\frac{1}{2t+y}+\left(2t^2+\frac{1}{2t}\right)\)
\(=\left(\frac{\left(2t+y\right)^2}{3}+\frac{9}{2t+y}+\frac{9}{2t+y}\right)+\left(2t^2+\frac{4}{2t}+\frac{4}{2t}\right)-\frac{17}{2t+y}-\frac{7}{2t}\)
\(\ge3.3+3.2-\frac{17}{3}-\frac{7}{2}=\frac{35}{6}\)
Dấu "=" xảy ra <=> y = t = 1 <=> y = 1 ; x = 2
\(Q=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+x^2+y^2\) (1)
\(\left(x+y\right)^2=2^2\) <=> \(x^2+2xy+y^2=4\) <=> \(x^2+y^2=4-2xy\)(2)
Thay 2 vào 1 ta được : \(Q=2\left(4-3xy\right)+4-2xy=12-8xy\)
Theo bđt côsi ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) => \(2\ge2\sqrt{xy}\) => \(xy\le1\)
=> \(Q=12-8xy\ge12-8\cdot1=4\)
Dấu = xảy ra khi : \(x=y=1\)
Vậy ...
cảm ơn bạn :)