Tìm số nguyên dương xy sao cho
X^3+y^3=3xy-1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
22 tháng 9 2017
a) \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)
\(\Leftrightarrow2xy^2+x+y-x^2-2y^2-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2xy^2-2y^2+x-x^2+y-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2y^2-x-y\right)=-1\)
Để x nguyên thì x - 1 nguyên. Vậy thì \(x-1\in\left\{-1;1\right\}\)
Với x = 1, ta có \(2y^2-1-y=-1\Rightarrow2y^2-y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Với x = -1, ta có \(2y^2+1-y=1\Rightarrow2y^2+y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{-1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) hoặc (-1; 0).
TC
23 tháng 6 2016
cách 1 BDT Cosi:
X^3 + Y^3 + 1 >= 3XY
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X=Y=1.
cách 2
Dễ thấy x = y = 1 là nghiệm. Và x = 2 hoặc y = 2 không là nghiệm.
Ta cmr với x >= 3, y >= 3 không có nghiệm. Thật thế với x >= y
=> x^3 + y^3 > x^3 >= 3x^2 >= 3xy > 3xy - 1. Tương tự với x < y
ủng hộ nha!
I
1
25 tháng 9 2018
Nếu x = 1 => y = 1 thỏa
Nếu x ≥ 2 thì đặt (x³ + x):(3xy - 1) = m ∈ N (vì x, y nguyên dương nên 3xy - 1 nguyên dương)
=> x³ + x = m(3xy - 1) => x² + 1 = 3my - m/x (1) => m/x = 3my - x² - 1 = p ∈ N => m = px thay vào (1) có:
x² + 1 = 3pxy - p (2) => x + 1/x = 3py - p/x => (p + 1)/x = 3py - x = q ∈ N
=> p + 1 = qx => p = qx - 1 thay vào (2) có:
x² + 1 = 3(qx - 1)xy - (qx - 1) = 3qx²y - 3xy - qx + 1
=> x + q = 3y(qx - 1) ≥ 3(qx - 1) ( vì y ≥ 1)
=> 3qx - x - q ≤ 3 <=> (3q - 1)(x - 1) ≤ 4 - 2q ≤ 2 (vì q ≥ 1)
Mà 3q - 1 ≥ 2 và x - 1 ≥ 1 => 3q - 1 = 2 và x - 1 = 1 => x = 2
thay x = 2 vào biểu thức ban đầu có 10/(6y - 1) ∈ N => y = 1
Đs: (x; y) = (1; 1); (2; 1)
1 tháng 10 2020
Theo đề: \(p=x^3+y^3-3xy+1=\left(x+y\right)^3+1-3xy\left(x+y\right)-3xy\)
\(=\left(x+y+1\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1\right]-3xy\left(x+y+1\right)\)
\(=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)
Vậy \(\left(x+y+1\right)\)và \(\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)là các ước của p, mà p là số nguyên tố nên 1 trong 2 ước trên phải bằng 1 và ước còn lại bằng chính p
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=1\Leftrightarrow x=-y\\x^2+y^2-x-y-xy+1=p\end{cases}}\)---> Loại, vì x,y nguyên dương nên x không thể bằng -y.
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=p\Leftrightarrow x+y=p-1\\x^2+y^2-x-y-xy+1=1\end{cases}}\)---> Xét vế dưới:
\(x^2+y^2-x-y-xy=0\)---> Áp dụng 1 số BĐT đơn giản:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)và \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow-xy\ge-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Suy ra: \(x^2+y^2-x-y-xy\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\left(x+y\right)-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow0\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\Leftrightarrow0\le x+y\le4\Rightarrow0\le p-1\le4\Leftrightarrow1\le p\le5\)
Vậy số nguyên tố p lớn nhất thỏa mãn đề bài là p = 5
Khi đó x = y = 2.
KM
3
9 tháng 10 2018
Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có:
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1)
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có:
(xy-1) I (x^2+1)
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y)
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho:
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2)
[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác]
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z.
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3}
Nếu y=1: x+2 =x (loại)
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y)
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1)
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé]
Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]
KS
9 tháng 10 2018
Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có:
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1)
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có:
(xy-1) I (x^2+1)
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y)
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho:
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2)
[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác]
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z.
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3}
Nếu y=1: x+2 =x (loại)
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y)
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1)
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé]
Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]
NV
0
DQ
1
PT tương đương:
\(x^3+y^3+1-3xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)=0\)
Mà: \(x,y\inℤ\)
Nên: \(x^3+y^3+1-3xy=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy: x = y = 1.
Ta có x3+y3=3xy-1
=> (x+y)3-3xy(x+y)-3xy+1=0
=>[(x+y)3+1]-3xy(x+y+1)=0
=>(x+y+1)[(x+y)2-x-y+1)]-3xy(x+y+1)=0
=>(x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1)=0
Vì x,y là các số nguyên dương nên x+y>0
=>x+y+1>1
=>x+y+1 khác 0
=>x2-xy+y2-x-y+1=0
=>2x2-2xy+2y2-2x-2y+2=0
=>(x-y)2+x2-2x+1+y2-2y+1=0
=>(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=0
=>(x-y)2 bé hơn hoặc bằng 0
(y-1)2 bé hơn hoặc bằng 0
(x-1)2 bé hơn hoặc bằng 0
Mà (x-y)2 lớn hơn hoặc bằng 0
(x-1)2 lớn hơn hoặc bằng 0
(y-1)2 lớn hơn hoặc bằng 0
=>(x-y)2=0
(y-1)2=0
(x-1)2=0
=>x=y=1