Cho ΔABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B (D thuộc AC), kẻ AH ⊥ BD, (H thuộc BD), AH cắt BC tại E.
a) Chứng minh: ΔBHA = ΔBHE.
b) Chứng minh: ED ⊥ BC .
c) Chứng minh: AD < DC.
d) Kẻ AK ⊥ BC (K thuộc BC). Chứng minh: AE là phân giác của góc CAK.
a) Xét tam giác BHA và BHE có:
BD chung
\(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{EBD}\)(vì BD là phân giác \(\widehat{B}\))
\(\widehat{BHA}\)=\(\widehat{BHE}\)(vì AH vuông góc với Bd tại H)
\(\Rightarrow\)Tam giác BHA=tam giac BHE(c.g.v-g.n.k)
b) Xét Tam giác BDA và tam giác BDE có
BD chung
BA=BE( vì tam giac BHA = tam giac BHE( chứng minh phần a))
ABD=EBD( vì BD là phân giác của\(\widehat{B}\))
\(\Rightarrow\)Tam giác BDA = Tam giác BDE(c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BEA}\)=\(\widehat{A}\)= 90o(2 canh tương ứng và \(\widehat{A}\)= 90o)
ED vuông góc với B tại E
d, DA= DE do tam giác ABD = tam giác EBD (Câu b)
=> tam giác DAE cân tại D (đn)
=> ^DAE = ^DEA (tc) (1)
có : AK _|_ BC (gt) ; DE _|_ BC (câu b)
=> DE // AK
=> ^DEA = ^EAK (slt) và (1)
=> ^DAE = ^EAK mà AE nằm giữa AD và AK
=> AE là phân giác của ^CAK (đn)
c, AD = DE
DE < CD do tam giác CDE vuông tại E
=> AD < DC