CMR: \(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LN
2
VT
29 tháng 6 2018
\(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\)\(\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{10}b^2+a^2b^{10}\ge a^8b^4+a^4b^8\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+a^2b^6\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\)
Vì a^2-b^2 va a^6-b^6 cùng dấu nên ta có điều phải chứng minh.
NT
1
7 tháng 7 2018
\(a.\) Ta có : \(\left(a-b\right)^2\) ≥ \(0\) ∀\(ab\)
⇔ \(a^2+b^2\text{ ≥}2ab\)
\(\text{⇔}a^4+2a^2b^2+b^4\text{≥}4a^2b^2\)
\(\text{⇔}a^4+b^4\text{≥}2a^2b^2\)
\(\text{⇔}a^4+b^4\text{≥ }\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
Cmtt , \(a^2+b^2\text{≥ }\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2 \)
⇒ \(a^4+b^4\text{≥ }\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2\Rightarrow a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$
Do đó:
$a^4+b^4\geq \frac{(a+b)^4}{8}$
$\Rightarrow 8(a^4+b^4)\geq (a+b)^4$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
$\Rightarrow
2 tháng 10 2021
\(8(a^4+b^4)\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\)\(8a^4+8b^4\ge a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)
\(\Leftrightarrow\) \(7a^4+7b^4\ge4a^3b+6a^2b^2+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(4a^3\left(a-b\right)+4b^3\left(b-a\right)+3\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)+3\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) với mọi a,b
\(\Rightarrowđpcm\)
KB
9 tháng 9 2018
a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\left(đpcm\right)\)
KB
9 tháng 9 2018
b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)
CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
3 tháng 11 2018
Câu a : \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
16 tháng 11 2022
a: =>2a^2+2b^2>=a^2+2ab+b^2
=>a^2-2ab+b^2>=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
c: =>3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
\(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Rightarrow8a^4+8b^4\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Rightarrow8\left(a^2\right)^2+8\left(b^2\right)^2\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^4=b^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3+b+a^4\)
\(\Rightarrow8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)(đpcm)
P/s: dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b = 1.