Question

[Nguyễn Thiện Minh]

Cho các số a; b;c thỏa mãn: \(12a-b^4=12b-c^4=12c-a^4=2015\)

Tính giá trị của biểu thức: \(P=\dfrac{670a+b+c}{a}+\dfrac{670b+c+a}{b}+\dfrac{670c+a+b}{c}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
ĐKĐB tương đương với \(\left\{\begin{matrix} a^4=12c-2015\\ b^4=12a-2015\\ c^4=12b-2015\end{matrix}\right.(*)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-b^4=12(c-a)\\ b^4-c^4=12(a-b)\\ c^4-a^4=12(b-c)\end{matrix}\right.\)

Nhân theo vế:
\((a^4-b^4)(b^4-c^4)(c^4-a^4)=12^3(a-b)(b-c)(c-a)\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(b-c)(b+c)(b^2+c^2)(c-a)(c+a)(c^2+a^2)=12^3(a-b)(b-c)(c-a)\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)[\prod (a+b)\prod (a^2+b^2)-12^3]=0\)

TH1 :Nếu $a=b$ \(\Rightarrow 12(c-a)=a^4-b^4=0\Rightarrow c=a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó:

\(P=\frac{670a+b+c}{a}+\frac{670b+c+a}{b}+\frac{670c+a+b}{c}=\frac{670a+a+a}{a}+\frac{670a+a+a}{a}+\frac{670a+a+a}{a}\)

\(=672+672+672=2016\)

Tương tự $b=c,c=a$ ta cũng thu được như trên

TH2: Nếu \(\prod (a+b)\prod (a^2+b^2)-12^3=0\)

Từ $(*)$ ta suy ra \(\left\{\begin{matrix} 12c-2015\geq 0\\ 12a-2015\geq 0\\ 12b-2015\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow a,b,c\geq \frac{2015}{12}\)

Do đó: \(\prod (a+b)\prod (a^2+b^2)\geq (\frac{2015}{6})^3(\frac{2.2015^2}{12^2})^3>12^3\)

\(\Rightarrow \prod (a+b)\prod (a^2+b^2)-12^3>0\) nên TH này loại.

Vậy.........