Question

[Nguyễn Minh Phong]

B1 Chứng minh rằng

a)cho a,b,c=0 và a;b;c khác 0

Cmt \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(\right)\)/\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)/

b) cho a=b+c và a;b;c là các số hữu tỉ khác 0

Cmr\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}+\)là 1 số hữu tỉ

c) cho a;b;c là các số hữu tỉ khác 0

Cmr √1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2 là 1 số hữu tỉ (dấu căn kéo dài hết ạ

d) cho a;b;c là 3 số hữu tỉ Tm ab-ba+ca=1

Cmr A= √(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là 1 số hữu tỉ (dấu căn kéo dài hết ạ)

Giúp mình với !!

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Bạn chú ý lần sau gõ đề bài bằng công thức toán. Việc gõ đề thiếu/ sai/ không đúng công thức khiến người sửa rất mệt.

a) Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\right)}\)

\(\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-0}\) (do $a+b+c=0$)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)

b) Theo điều kiện đề bài:

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}}=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{b^2+c^2+2bc}{b^2c^2}-\frac{2}{bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{(b+c)^2}+(\frac{b+c}{bc})^2-\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc})^2}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\)

Vì \(a,b,c\in\mathbb{Q}\Rightarrow \)\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{b+c}-\frac{b+c}{bc}\right|\in\mathbb{Q}\)

Ta có đpcm.