Question

[Namikaze Minato]

Cho M(a;b) là 1 điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x + 5y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 5/a/-3/b/

Answer 1

[Mr Lazy]

Giải phương trình nghiệm nguyên \(4x+5y=7\text{ (1)}\)

...................................................................

Ta thấy với \(x=5t-2;\text{ }y=-4t+3\text{ }\left(t\in Z\right)\) thì \(4x+5y=4\left(5t-2\right)+4\left(-4t+3\right)=7\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x=5t-2\\y=-4t+3\end{cases}}\)là (một) nghiệm nguyên của phương trình \(4x+5y=7\)

(Muốn chứng minh là nghiệm duy nhất thì cần giải phương trình nghiệm nguyên cụ thể)

\(M\left(a;b\right)=M\left(5m-2;-4m+3\right)\text{ }\left(m\in Z\right)\)

\(Q=5\left|5m-2\right|-3\left|-4m+3\right|=5\left|5m-2\right|-3\left|4m-3\right|\)

\(+TH1:\hept{\begin{cases}5m-2< 0\\4m-3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow m< \frac{2}{5}\Rightarrow m\le0\)(đang xét m nguyên)

\(Q=5\left(2-5m\right)-3\left(3-4m\right)=1-13m\ge1\)

\(+TH2:\hept{\begin{cases}5m-2\ge0\\4m-3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{2}{5}\le m< \frac{3}{4}\), ko tồn tại m nguyên trong khoảng này --> loại

\(+TH3:\hept{\begin{cases}5m-2>0\\4m-3\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}m\ge\frac{3}{4}\Rightarrow m\ge1\)

\(Q=5\left(5m-2\right)-3\left(4m-3\right)=13m-1\ge13.1-1=12\)

Vậy ta thấy \(Q\ge1\forall m\in Z\)

Dấu bằng xảy ra khi m = 0, hay \(M\left(-2;3\right)\)