Cho a, b, c thoả mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7;a+b+c=23;\sqrt{abc}=3\). Tính giá trị biểu thức: \(N=\dfrac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
G
21 tháng 7 2019
\(\sqrt{a+c}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b}< \sqrt{b+c}+\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{b+c}+\sqrt{a}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab+bc}< a+b+c+2\sqrt{ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab+bc}< 2\sqrt{ab+ac}\Leftrightarrow\sqrt{ab+bc}< \sqrt{ab+ac}\)(đúng vs a>b) .Vậy bđt cần cm đúng
B
28 tháng 5 2022
Ta có : \(b=\dfrac{c+a}{2}\Rightarrow2b=c+a\Rightarrow a-b=b-c\)
Dó đó : \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{b-c}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\) Vì \(\left(a-b=b-c\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{b-c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\dfrac{a-c}{a-b}=\dfrac{a-c}{a-\dfrac{a+c}{2}}=\dfrac{a-c}{\dfrac{2a-a-c}{2}}=\dfrac{a-c}{\dfrac{a-c}{2}}=2\)
TT
1
TN
23 tháng 6 2016
nè Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằngcăn(5a + 4) + căn(5b + 4) + căn(5c + 4) >= 7- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
5 tháng 1 2023
- Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt{a.1}\le\dfrac{a+1}{2}\)
\(\sqrt{b.1}\le\dfrac{b+1}{2}\)
\(\sqrt{c.1}\le\dfrac{c+1}{2}\)
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2}\)
\(\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3.3+3}{2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Mà ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=6\)
\(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(M=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2023}}=\dfrac{1^{30}+1^4+1^{1975}}{1^{30}+1^4+1^{2023}}=1\)
27 tháng 4 2023
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)
5 tháng 7 2019
\(VT\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\left(\frac{a+2b+3+3}{3}+\frac{b+2c+3+3}{3}+\frac{c+2a+3+3}{3}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3\left(a+b+c\right)+18}{3}=\frac{9}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)