Question

[Nguyễn's Anh'ss]

Cho đường tròn (O;R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi M là 1 điển trên bán kính OB sao cho OM = R²/3 , đường thẳng CM cắt đường tròn (O;R) tại N và cắt đường thẳng BD tại K

a, Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp

b, Chứng minh K là trung điểm của BD và KC.KN=R²/2

c, tính độ dài đoạn thẳng DN theo R

Answer 1

[Nguyễn Như Ý]

đề phải là OM=R/3 mới đúng chứ bạn

bạn tự vẽ hình theo đề OM=R/3 nha:

a) có \(\widehat{CND}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

hay \(\widehat{MND}=90^o\)

tứ giác OMND có \(\widehat{MND}+\widehat{MOD}=90^o+90^o=180^o\)

=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn

b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB

tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO

=> M là trọng tâm của tam giác CBD

=> CM là trung tuyến của tam giác CBD

hay CK là trung tuyến

=> K là trung điểm của BD

\(\Delta KCB\) và\(\Delta KDN\) có:
\(\widehat{CKB}=\widehat{DKN}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\widehat{KCB}=\widehat{KDN}\)(cùng chắn cung BN)

\(\Rightarrow\Delta KCB\sim\Delta KDN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{KB}{KN}\)

=> KC.KN=KB.KD

tam giác OBD vuông tại O

\(\Rightarrow BD=\sqrt{OB^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}\)

=> \(KB=KD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

=> KC.KN=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=\dfrac{R^2}{2}\left(đpcm\right)\)

c) tam giác COM vuông tại O

\(\Rightarrow CM=\sqrt{CO^2+OM^2}=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{R}{3}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{10}}{3}\)

\(\Delta COM\) và \(\Delta CND\) có:

\(\widehat{OCM}chung\)

\(\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta COM\sim\Delta CND\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{DN}=\dfrac{CM}{CD}\)

\(\Rightarrow DN=\dfrac{OM.CD}{CM}=\dfrac{\dfrac{R}{3}.2R}{\dfrac{R\sqrt{10}}{3}}=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)

Answer 2

[Lê Ngọc Linh]

ai gthich hộ chỗ cm K là tđiểm Bd với.Tại sao tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 OB thì M lại là trọng tâm của tam giác CBD ??