Question

[Bùi Đức Anh]

Cho(O:R) và dây cung AH<R. Qua H kẻ đường d tiếp xúc với (O). Vẽ (A;R) cắt d tại B và C sao cho H nằm giữa. Vẽ HM, HN vuông góc với OB,OC.

1) C/m OM.OB=ON.OC và MN luôn đi qua điểm cố định.

2) C/m OB.OC=2R^2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

1. 

Vì $BC\equiv d$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $OH\perp BC$

$\Rightarrow \triangle BHO$ vuông tại $H$ và tam giác $CHO$ vuông tại $H$

Tam giác $HBO$ vuông có đường cao $HM$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có $HO^2=OM.OB(1)$

Hoàn toàn tương tự, với tam giác vuông $CHO$ có đường cao $HN$ có: $HO^2=ON.OC(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow OM.OB=ON.OC$ (đpcm)

------------

Vì $OM.OB=HO^2=OA^2\Rightarrow \frac{OM}{OA}=\frac{OA}{OB}$

$\Rightarrow \triangle MOA\sim \triangle AOB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=\widehat{AOM}$ (do $AB=AO$)

$\Rightarrow \triangle AMO$ cân tại $M$

$\Rightarrow AM=OM$

Hoàn toàn tương tự: $NA=NO$

Do đó $MN$ là đường trung trực của $AO$ nên $MN$ luôn đi qua trung điểm của $AO$. $A,O$ cố định nên trung điểm của nó $I$ cũng cố định. Vậy $MN$ luôn đi qua điểm cố định (đpcm)

2. 

Vì $OM.OB=ON.OC$ nên $\triangle OMN\sim \triangle OCB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OMN}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{OMI}=\widehat{OCH}$ 

$\Rightarrow \triangle OMI\sim \triangle OCH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{2OH}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2OM=OC$

$\Rightarrow OB.OC=2OM.OB=2.OH^2=2R^2$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: