Cho hình chữ nhật ABCD .Gọi H là hình chiếu của A trên BD ;M và N lần lượt là các điểm thuộc BH và CD sao cho \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}\).Chứng minh \(\widehat{AMN}=90^o\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 12 2020
Lời giải:
Xét tam giác ADH và AOH có:
\(\widehat{DAH}=\widehat{OAH}\) (gt)
\(\widehat{AHD}=\widehat{AHO}=90^0\)
AH chung
\(\Rightarrow \triangle ADH=\triangle AOH(g.c.g)\) (1)
\(\Rightarrow AD=AO\Rightarrow \frac{AD}{AO}=1\)
Xét tam giác ADH và AOK có:
\(\widehat{AHD}=\widehat{AKO}=90^0\)
\(\widehat{DAH}=\widehat{OAB}=\widehat{OAK}\) (gt)
\(\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle AOK(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{DH}{OK}=\frac{AD}{AO}=1\Rightarrow AH=AK;DH=OK\)
Vì AO là phân giác của \(\widehat{HAB}\) nên theo tính chất đường phân giác thì:
\(\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}\)
Trong đó \(OH=DH\) (do (1)) nên \(OH=\frac{1}{2}OD\). Mà \(OD=OB\) theo tính chất hình bình hành
\(\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}=\frac{1}{2}\)
Mà \(AH=AK\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AK=KB\)
Tam giác AOB có OK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác AOB cân tại O. Do đó OA=OB hay AC=BD nên ABCD là hình chữ nhật (đpcm).
NK
0
18 tháng 3 2020
Gọi R là trung điểm AI
Ta có:ID=IH;RA=RH nên IR là đường trung bình tam giác AIH => IR//AD => IR vuông góc với AB
=> R là trực tâm tam giác AIH => BR vuông góc với AI
Do IR là đường trung bình tam giác AIH nên IR//AD//BJ;IR=1/2AD=BJ => BRIJ là hình bình hành => BR//IJ
Mà BR vuông góc với AI nên IJ vuông góc với AI => ^AIJ=900
8 tháng 9 2018
Gợi ý:
a) Gọi O là giao của AC và BD
Dễ thấy: MO // EC (đtb)
=> góc ECH = OBC
góc OBC = OCB
góc ECH = KHC
suy ra: góc KHC = OCB
=> HK // AC
b) Gọi giao của KH và EC là I
Dễ thấy: MI // AC (đtb)
mà HK// AC
suy ra:H,K, M thẳng hàng
Kẻ MK//AB (\(K\in AH\)) \(\Rightarrow MK\perp AD\) , mà \(AH\perp DM\Rightarrow K\) là trực tâm tam giác \(AMD\Rightarrow DK\perp AM\)
Áp dụng Talet: \(\frac{HM}{BH}=\frac{MK}{AB}\)
Mà \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}\Leftrightarrow\frac{BM}{MH}+1=\frac{CN}{ND}+1\Leftrightarrow\frac{BH}{MH}=\frac{CD}{ND}\Leftrightarrow\frac{MH}{BH}=\frac{ND}{CD}\)
\(\Rightarrow\frac{MK}{AB}=\frac{ND}{CD}\Rightarrow MK=ND\) (do AB=CD)
Mà KM//AB//CD \(\Rightarrow MKDN\) là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(\Rightarrow DK//MN\Rightarrow MN\perp AM\Rightarrow\widehat{AMN}=90^0\)