Cho hình vuông ABCD có P là điểm nằm trên đường chéo AC và Q ; H là hình chiếu của P lên AD và DC
a) CMR PB = QH và PB vuông góc với QH
b) CMR 3 đường thẳng PB, AH và CQ đồng quy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1 tháng 8 2023
Bước 1: Chứng minh tam giác BEF vuông
Vì F là trung điểm AD, ta có AF = FD. Và do tam giác vuông ADE có E nằm trên đường chéo, ta có AE = 3EC. Vậy, tổng các tỉ số các cạnh của tam giác vuông ADE là: AE/EC = AF/FD = 3.
Theo định lý đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của một góc trong tam giác chia đôi cạnh đối diện với góc đó theo tỉ lệ của các cạnh. Vì vậy, BE chia FD thành hai phần bằng nhau.
Vì BF là đường phân giác của góc ABD trong tam giác ABE và chia đôi cạnh đối diện (FD), nên BF cũng chia BE thành hai phần bằng nhau.
Do đó, ta có BF = FE.
Bước 2: Chứng minh tam giác BEF cân
Ta đã chứng minh được BF = FE . Và ta đã biết BE = EF vì F là trung điểm của AD. Do đó, ta có BF = FE = BE.
Vậy tam giác BEF là tam giác vuông cân
CM
28 tháng 11 2017
Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O => M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)
23 tháng 11 2023
Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình vuông
=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD
=>AC vuông góc BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD
O là trung điểm chung của AC và BD
=>OA=OC=AC/2 và OB=OD=BD/2
mà AC=BD
nên OA=OC=OB=OD
\(NA=3NC\)
NA+NC=AC
=>3NC+NC=AC
=>4NC=AC
=>\(AC=4NC\)
mà AC=2OC
nên \(2OC=4NC\)
=>OC=2NC
=>N là trung điểm của OC
Gọi K là trung điểm của OD
Xét ΔODC có
N,K lần lượt là trung điểm của OC,OD
=>NK là đường trung bình của ΔODC
=>NK//DC và NK=DC/2
NK//DC
AB//DC
Do đó: NK//AB
\(NK=\dfrac{DC}{2}\)
\(AB=DC\)
\(AM=\dfrac{AB}{2}\)
Do đó: NK=AM
Xét tứ giác AMNK có
AM//NK
AM=NK
Do đó: AMNK là hình bình hành
=>AK//MN
KN//DC
DC\(\perp\)AD
Do đó: NK\(\perp\)AD
Xét ΔADN có
NK,DO là đường cao
NK cắt DO tại K
Do đó: K là trực tâm của ΔADN
=>AK\(\perp\)DN
mà AK//MN
nên DN\(\perp\)MN
=>\(\widehat{DNM}=90^0\)
12 tháng 11 2021
MN,NP,PQ,QM lần lượt là đtb tam giác ABC,BCD,ACD,ABD
Do đó MN//AC;NP//BD;PQ//AC;QM//BD
Mà AC⊥BD nên MN⊥NP;PQ⊥QM
Do đó \(\widehat{MNP}+\widehat{PQM}=90^0+90^0=180^0\)
Vậy MNPQ nội tiếp (đpcm)
Tự vẽ hình
a) + Chứng minh PB = QH
Gọi giao điểm của HK và AB là K, giao điểm của PB và QH là I
Xét tứ giác AKPQ, ta có:
\(\widehat{DAC}=90^0\) ( do hình vuông ABCD )
\(\widehat{AQP}=90^0\) ( do Q là hình chiếu của P lên AD )
\(\widehat{AKP}=90^0\) ( do AB // CD, góc AKP và góc PHD là hai góc trong cùng phía )
=> AKPQ là hình chữ nhật
Mà AC là tia phân giác góc BAD ( vì AC là đường chéo của hình vuông ABCD )
=> AKPQ là hình vuông
=> AQ = AK
Mà AB = AD ( do hình vuông ABCD )
=> AB - AK = AD - AQ
=> BK = QD
Xét tứ giác QPHD, ta có:
\(\widehat{PQD}=90^0\) ( do Q là hình chiếu của P lên AD )
\(\widehat{ADC}=90^0\) ( do hình vuông ABCD )
\(\widehat{PHD}=90^0\) ( do H là hình chiếu của P lên DC )
=> QPHD là hình chữ nhật
=> PH = QD
Mà QD = BK (cmt)
=> PH = BK
Xét tam giác BKP và tam giác HPQ
Ta có: PH = BK (cmt)
Góc HPQ = Góc PKB ( = 90 độ )
QP = KP ( do hình vuông AKPQ )
=> Tam giác BKP = Tam giác HPQ ( c-g-c )
=> PB = QH ( Hai cạnh tương ứng )
+ Chứng minh PB vuông góc với QH
Ta có: \(\widehat{PBK}=\widehat{PHQ}\) ( do hai tam giác BKP và HPQ bằng nhau )
Và \(\widehat{IPH}=\widehat{KPB}\) ( đối đỉnh )
=> \(\widehat{PBK}+\widehat{KPB}=\widehat{PHQ}+\widehat{IPH}\)
\(\Rightarrow90^0=\widehat{PHQ}+\widehat{IPH}\)
\(\Rightarrow\widehat{PIH}=90^0\)
Vậy PB vuông góc với QH
b) Vì QA = QP ( do hình vuông AKPQ )
Mà QP = DH ( do hình chữ nhật QPHD )
=> AQ = HD
Xét tam giác ABQ và tam giác DAH
Ta có: AQ = DH ( cmt )
Góc QAB = Góc QDH ( = 90 độ )
AQ = AB ( do hình vuông ABCD )
=> Tam giác ABQ = Tam giác DAH ( c-g-c )
=> \(\widehat{QAH}=\widehat{ABQ}\)
\(\Rightarrow\widehat{QAH}+\widehat{AQB}=\widehat{ABQ}+\widehat{AQB}\)
\(\Rightarrow\widehat{QAH}+\widehat{AQB}=90^0\)
=> AH vuông góc với BQ
=> AH là đường cao của tam giác QBH
Tương tự xét hai tam giác BHC và QDC bằng nhau rồi lập luận như trên
=> QC là đường cao của tam giác QBH
Mà PB vuông góc với QH
=> PB là đường cao của tam giác QBH
=> AH, QC, PB đồng quy