Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2: Xét tứ giác OBCD có
\(\widehat{OBC}+\widehat{ODC}=180^0\)
Do đó: OBCD là tứ giác nội tiếp
hay O,B,C,D cùng thuộc một đường tròn
b) Ta có: OM = OA + AM = R + R = 2R
Xét tam giác MCO vuông tại C, CH là đường cao có:
MO 2 = MC 2 + OC 2
CH.OM = CM.CO
Lại có: CD = 2CH ⇒ CD = R 3
Tam giác CDE nội tiếp (O) có CE là đường kính nên ΔCDE vuông tại D
Theo định lí Py ta go ta có:
CE 2 = CD 2 + DE 2
a) Xét \(\Delta\)AOB vuông tại B có
\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}\)(Tỉ số lượng giác góc nhọn)
\(\Leftrightarrow\cos\widehat{AOB}=\dfrac{R}{2\cdot R}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(\widehat{AOB}=60^0\)
Vậy: \(\widehat{AOB}=60^0\)
b) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)
nên \(\widehat{AOB}+\widehat{BAO}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{BAO}=30^0\)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)
hay \(\widehat{CAO}=30^0\)
Ta có: \(\widehat{CAO}+\widehat{MAO}=\widehat{MAC}\)(Vì tia AO nằm giữa hai tia AM,AC)
hay \(\widehat{MAO}=60^0\)
Xét ΔMOA có
\(\widehat{MAO}=60^0\)(cmt)
\(\widehat{MOA}=60^0\)(\(\widehat{AOB}=60^0\))
Do đó: ΔMOA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒MA=MO(đpcm)
c) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)
mà BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)
nên \(BI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AI=\dfrac{OA}{2}\)(I là trung điểm của OA)
nên BI=AI(1)
Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)
mà CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)
nên \(CI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AI=\dfrac{AO}{2}\)(I là trung điểm của OA)
nên CI=AI(2)
Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC
hay I là giao điểm 3 đường trung trực của ΔABC
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAO}+\widehat{CAO}\)(tia AO nằm giữa hai tia AB,AC)
hay \(\widehat{BAC}=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC(cmt)
nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(cmt)
nên ΔABC đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Xét ΔABC đều có I là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác(cmt)
mà trong tam giác đều, giao điểm 3 đường trung trực cũng chính là giao điểm của 3 đường phân giác(Định lí tam giác đều)
nên I là giao điểm của 3 đường phân giác trong ΔBAC
hay I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC(đpcm)
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ABE\) có:
\(\widehat{BAE}\) chung; \(\widehat{ABD}=\widehat{OBE}\) (cùng phụ với \(\widehat{OBD}\))
\(\Rightarrow\Delta ABD\infty\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\left(1\right)\Leftrightarrow AB^2=AE.AD\)
mà \(AB=DE\left(=2R\right)\) \(\Rightarrow DE^2=AE.AD\left(đpcm\right)\)
(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AD}\) mà \(AD=AC;DE=AB\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD+DE}{AB}=\dfrac{AC+AB}{AB}=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC+AB}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC+AB-AB}{AB}=\dfrac{AB-AC}{AC}\) (t\c tỉ lệ thức)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}\Leftrightarrow AC^2=AB.BC\)(đpcm)
b) Cần c\m \(\Delta ADP\infty\Delta ODB\left(g.g\right)\) , \(\Delta MAD\infty\Delta NOD\left(g.g\right)\)
rồi suy ra \(\dfrac{DP}{BD}=\dfrac{MD}{ND}\left(=\dfrac{AD}{OD}\right)\) và \(\widehat{MDP}=\widehat{NDB}\left(đđ\right)\) là xong!
Câu b còn dễ hơn câu a