cho n thuộc N*.Chứng tỏ rằng (2n+3;3n+4)=1
GIUP MK VOI CAC BAN .LAM NHANH GIUP MK NHA MAI MK PHAI NOP RUI.BN NAO DUNG MK TICK CHO
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
( 2n + 2 ).( 2n + 4 ) chia hết cho 8
Chứng tỏ rằng vì :
Ta thấy n phải là số chẵn mà 2n + 2 đã là số chẵn
2n + 4 đã là số chẵn vì \(⋮\) cho 2
Nên chứng tỏ:
\(n+\left(2.4\right)⋮8\)
=> n + 8 chia hết cho 8
=> ( 2n + 2 ).( 2n + 4 ) chia hết cho 8
Đặt d ϵ Ư( 2n+1; 2n+3) ĐK: d ϵ N*
=> 2n+1 chia hết cho d, 2n+3 chia hết cho d
=> (2n+3)-(2n+1) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d => d ϵ Ư(2) => d ϵ {1;2} (vì d ϵ N*)
Mặt khác, d là ước của 2 số lẻ 2n+1 và 2n+3 nên d=1.
=> Ư(2n+1; 2n+3)=1
Vậy 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 1 : Đặt \(d=Ư\left(n+1;2n+3\right)\)
Từ đó \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}}2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
Vậy mọi phân số dạng \(\frac{n+1}{2n+3}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản
Bài 2 : Đặt \(d=Ư\left(2n+3;3n+5\right)\)
Từ đó \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}6n+10-\left(6n-9\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1}\)
Vậy mọi phân số dạng \(\frac{2n+3}{3n+5}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản.
Gọi UCLN(2n+1; 2n+3) là d
Ta có:2n+1 chia hết cho d =>2n+3-2n+1 chia hết cho d =>2chia hết cho d =>d thuộc {1:2}
2n+3 chia hết cho d
Mà 2n+1 là số lẻ =>d Không thuộc {2}
Vậy d thuộc {1}=>2n+1 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
\(\text{Gọi }\left(2n+1,2n+3\right)=d\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2n+1\right)⋮d\\\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)=2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
\(\text{Dễ thấy }\hept{\begin{cases}2n+1\text{không chia hết cho 2 }\\2n+3\text{không chia hết cho 2 }\end{cases}}\)
\(\Rightarrow d\ne2\Rightarrow d=1\)
\(\text{Vậy }\left(2n+1,2n+3\right)=1\)
\(A_n=1+3+5+7+...+2n-1\)
\(A_1=1=1^2\)
\(A_2=1+3=2^2\)
Ta sẽ chứng minh \(A_n=n^2\).(1)
(1) đúng với \(n=1\).
Giả sử (1) đúng với \(n=k\ge1\)tức là \(A_k=k^2\).
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) tức là \(A_{k+1}=\left(k+1\right)^2\)
Thật vậy, ta có: \(A_{k+1}=1+3+5+...+2k-1+2\left(k+1\right)-1\)
\(=A_k+2\left(k+1\right)-1=k^2+2k+1=k^2+k+k+1=\left(k+1\right)^2\)
Ta có đpcm.
Vậy \(A_n=n^2\)là số chính phương.
Lời giải:
$a+a^2+a^3+...+a^{2n}=(a+a^2)+(a^3+a^4)+...+(a^{2n-1}+a^{2n})$
$=a(a+1)+a^3(a+1)+....+a^{2n-1}(a+1)$
$=(a+1)(a+a^3+....+a^{2n-1})\vdots a+1$
Gọi d là \(ƯC\left(2n+3;3n+4\right)\)
Ta có: \(2n+3⋮d\Rightarrow3\left(2n+3\right)⋮d\Leftrightarrow6n+9⋮d\)
\(3n+4⋮d\Rightarrow2\left(3n+4\right)⋮d\Rightarrow6n+8⋮d\)
\(\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)⋮d\)
\(\Rightarrow6n+9-6n-8⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)
Vậy \(ƯCLN\left(2n+3;3n+4\right)=1\left(đpcm\right)\)
Bn ghi ro de ra