Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left\lbrack0;1\right\rbrack\) thỏa mãn \(f\left(1\right)=\frac{14}{15}\) và \(3f\left(x\right)+xf^{\prime}\left(x\right)=3x^2+1\). Biết rằng \(\int_0^1f\left(x\right)dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b\in Z\), \(b>0\). Tính...
Đọc tiếp
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left\lbrack0;1\right\rbrack\) thỏa mãn \(f\left(1\right)=\frac{14}{15}\) và \(3f\left(x\right)+xf^{\prime}\left(x\right)=3x^2+1\). Biết rằng \(\int_0^1f\left(x\right)dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b\in Z\), \(b>0\). Tính \(a+b\).
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số f(x) từ phương trình vi phân đã cho, sau đó tính tích phân xác định của f(x) từ 0 đến 1.
Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên [0,1] thỏa mãn f(1)=1514 và 3f(x)+xf′(x)=3x2+1. Ta nhận thấy vế trái của phương trình 3f(x)+xf′(x) có dạng (x3f(x))′. Cụ thể, nếu ta nhân cả hai vế của phương trình 3f(x)+xf′(x)=3x2+1 với x2, ta được: 3x2f(x)+x3f′(x)=3x4+x2 Vế trái chính là đạo hàm của tích x3f(x): (x3f(x))′=3x2f(x)+x3f′(x)
Do đó, phương trình trở thành: (x3f(x))′=3x4+x2
Để tìm x3f(x), ta lấy nguyên hàm cả hai vế: ∫(x3f(x))′dx=∫(3x4+x2)dx x3f(x)=35x5+3x3+C x3f(x)=53x5+31x3+C
Bây giờ, ta sử dụng điều kiện f(1)=1514 để tìm hằng số C. Thay x=1 vào phương trình: 13f(1)=53(1)5+31(1)3+C f(1)=53+31+C 1514=159+155+C 1514=1514+C Suy ra C=0.
Vậy, biểu thức của x3f(x) là: x3f(x)=53x5+31x3
Với x=0, ta có thể chia cả hai vế cho x3 để tìm f(x): f(x)=53x2+31
Bây giờ, chúng ta cần tính tích phân ∫01f(x)dx: ∫01(53x2+31)dx =[53⋅3x3+31x]01 =[51x3+31x]01 =(51(1)3+31(1))−(51(0)3+31(0)) =51+31−0 =153+155 =158
Vậy, ∫01f(x)dx=158. Theo đề bài, tích phân này bằng ba với ba là phân số tối giản và a,b∈Z,b>0. Ta có a=8 và b=15. Phân số 158 là phân số tối giản vì ước chung lớn nhất của 8 và 15 là 1.
Cuối cùng, ta cần tính a+b: a+b=8+15=23.
Câu trả lời : 23