cho ba số a,b,c thoar mãn -1≤a≤1;-1≤b≤1;-1≤c≤1 và a+b+c=0. Chứng minh a2+b7+c2022≤2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
6 tháng 4 2023
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 9
Từ giả thiết 𝑎 3 + 𝑏 3 = 𝑎 − 𝑏 a 3 +b 3 =a−b và 𝑎 , 𝑏 > 0 a,b>0 suy ra 𝑎 − 𝑏 > 0 a−b>0, tức 𝑎 > 𝑏 a>b. Viết lại phương trình dưới dạng ( 𝑎 3 − 𝑎 ) + ( 𝑏 3 + 𝑏 ) = 0 ⟹ 𝑎 ( 𝑎 2 − 1 ) + 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) = 0. (a 3 −a)+(b 3 +b)=0⟹a(a 2 −1)+b(b 2 +1)=0. Vì 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) > 0 b(b 2 +1)>0 (do 𝑏 > 0 b>0), nên phải có 𝑎 ( 𝑎 2 − 1 ) < 0 a(a 2 −1)<0. Do 𝑎 > 0 a>0 nên 𝑎 2 − 1 < 0 a 2 −1<0, tức 𝑎 2 < 1 ⇒ 0 < 𝑎 < 1. a 2 <1⇒0<a<1. Từ phương trình ban đầu ta cũng có 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) = 𝑎 − 𝑎 3 . b(b 2 +1)=a−a 3 . Vì 𝑏 2 + 1 > 1 b 2 +1>1 nên 𝑏 = 𝑎 − 𝑎 3 𝑏 2 + 1 < 𝑎 − 𝑎 3 . b= b 2 +1 a−a 3 <a−a 3 . Do đó 𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + ( 𝑎 − 𝑎 3 ) = 2 𝑎 − 𝑎 3 . a+b<a+(a−a 3 )=2a−a 3 . Nhân hai vế với 𝑎 > 0 a>0 được 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 𝑎 ( 2 𝑎 − 𝑎 3 ) = 2 𝑎 2 − 𝑎 4 . a(a+b)<a(2a−a 3 )=2a 2 −a 4 . Xét hàm 𝑓 ( 𝑎 ) = 2 𝑎 2 − 𝑎 4 f(a)=2a 2 −a 4 trên khoảng 0 < 𝑎 < 1 0<a<1. Ta có 𝑓 ′ ( 𝑎 ) = 4 𝑎 − 4 𝑎 3 = 4 𝑎 ( 1 − 𝑎 2 ) > 0 (v ı ˋ 0 < 𝑎 < 1 ) , f ′ (a)=4a−4a 3 =4a(1−a 2 )>0(v ı ˋ 0<a<1), nên 𝑓 f tăng trên ( 0 , 1 ) (0,1) và do đó 𝑓 ( 𝑎 ) < 𝑓 ( 1 ) = 1 f(a)<f(1)=1. Kết hợp với bất đẳng thức trên suy ra 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 1. a(a+b)<1. Trở về mục tiêu, từ phân tích ban đầu (chia cả hai vế 𝑎 3 + 𝑏 3 = 𝑎 − 𝑏 a 3 +b 3 =a−b cho 𝑎 + 𝑏 a+b) 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 , a 2 −ab+b 2 = a+b a−b =1− a+b 2b , nên 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑎 𝑏 = ( 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 ) + 2 𝑎 𝑏 = 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎 𝑏 . a 2 +b 2 +ab=(a 2 −ab+b 2 )+2ab=1− a+b 2b +2ab. Vì 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 1 a(a+b)<1 tương đương 𝑎 < 1 𝑎 + 𝑏 a< a+b 1 , suy ra 2 𝑎 𝑏 < 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 2ab< a+b 2b . Do đó 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎 𝑏 < 1 , 1− a+b 2b +2ab<1, tức 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑎 𝑏 < 1 . a 2 +b 2 +ab<1 .
TD
0
28 tháng 4 2019
Từ \(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+a+b+b+c\right)\ge\left(1+1+1+1+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{25}{2a+2b+c}\)
Tương tự ta có :
\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{25}{2b+2c+a}\)
\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{25}{2a+b+2c}\)
Cộng từng vế BĐT ta thu được :
\(\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}\ge25P\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{25}=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{5}\)
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
3 tháng 7 2019
\(A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc\cdot c+abc+ac}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
\(A=1\)
4 tháng 8 2015
1/a+1/b+1/c=1/200
=>\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{c}\)\(\frac{\Leftrightarrow a+b}{ab}=\frac{c-2000}{2000c}\Rightarrow\left(c-2000\right)ab=\left(a+b\right)2000c\)
a + b +c = 2000 => a + b = 2000 - c
________________________________________**** cho mình nhé bn Lee Min Ho
22 tháng 9 2019
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm tương tự !
KB
14 tháng 6 2021
Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\) \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)
AD BĐT AM - GM ta được : \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)
( đpcm )