Question

[Trần Ngọc Thảo]

Cho hình chữ nhật ABCD ; sin góc DAC = 0,8 ; AD = 42 mm , kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC

a) AC cắt BD ở O , tính sin góc AOD

b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó

c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC , chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

A B C D O E F G H

\(cos\widehat{DAC}=\sqrt{1-sin^2\widehat{DAC}}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{AD}{cos\widehat{DAC}}=70\)

\(CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=56\)

Trong tam giác vuông ADC với đường cao DF áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{DF^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{CD^2}\Rightarrow DF=33,6\)

\(OD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AC=35\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AOD}=\frac{DF}{OD}=0,96\)

b/ \(\frac{1}{CE^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{DF^2}\Rightarrow CE=DF=33,6\) (1)

\(cos\widehat{AOD}=\sqrt{1-sin^2\widehat{AOD}}=0,28\)

\(\Rightarrow OF=OD.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)

\(OE=OC.cos\widehat{BOC}=OC.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)

\(\Rightarrow\frac{OF}{OC}=\frac{OE}{OD}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF||CD\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CEFD\) là hình thang cân

\(\frac{EF}{CD}=\frac{OF}{OC}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF=\frac{9,1.CD}{35}=14,56\)

Kẻ \(EK\perp CD\Rightarrow\frac{1}{EK^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EC^2}\Rightarrow EK=\frac{ED.EC}{\sqrt{ED^2+EC^2}}=\frac{ED.EC}{CD}=26,46\)

\(\Rightarrow S_{CEFD}=\frac{1}{2}\left(EF+CD\right).EK=...\)

c/ \(\Delta OAD\) cân tại O (t/c hình chữ nhật) \(\Rightarrow AG=DF\) (2 đường cao xuất phát từ 2 góc đáy)

\(\Rightarrow\Delta_vODF=\Delta_vOAG\Rightarrow OF=OG\)

Tương tự ta có \(OE=OH\), mà \(OF=OE\Rightarrow OF=OE=OG=OH\)

\(\Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Áp dụng Talet: \(\frac{FG}{AD}=\frac{OF}{OA}\Rightarrow FG=\frac{AD.OF}{OA}=...\Rightarrow S_{EFGH}=EF.FG=...\)