Question

[Phan Hà Thanh]

Xác định a; b; c; d biết đẳng thức sau đúng với mọi x

\(x^3-ax^2+bx-c=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
\(x^3-ax^2+bx-c=(x-a)(x-b)(x-c)\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-c=(x^2-bx-ax+ab)(x-c)\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-c=x^3-x^2(c+a+b)+x(ab+bc+ac)-abc\)

Để đẳng thức trên đúng với mọi $x$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} c+a+b=a\\ ab+bc+ac=b\\ abc=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=0\\ bc+a(b+c)=b\\ c(ab-1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=0\\ bc=b\\ c(ab-1)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=-b(1)\\ -b^2=b(2)\\ -b(ab-1)=0(3)\end{matrix}\right.\)

Từ $(2)\Rightarrow b=0$ hoặc $b=-1$

Nếu $b=0$ thì $c=-b=0$, $a$ là số thực tùy ý.

Nếu $b=-1$ thì $c=-b=1$. Từ $(3)\Rightarrow ab=1\Rightarrow a=\frac{1}{b}=-1$