Question

[Lil Bitch]

Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là hai đường cao . Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại B cắt tia CA tại D . Chứng minh :

a) BD = 2AH ;

b) \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4HA^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $H$ là trung điểm của $BC$

$AH\perp BC, BD\perp BC\Rightarrow AH\parallel BC$. Áp dụng định lý Talet:

$\frac{AH}{BD}=\frac{CH}{CB}=\frac{1}{2}$ (do $H$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow BD=2AH$ (đpcm)

b)

Xét tam giác vuông tại $B$ là $BDC$ có đường cao $BK$. Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BC^2}$
Mà theo phần a thì $BD=2AH\Rightarrow BD^2=4AH^2$

$\Rightarrow \frac{1}{BK^2}=\frac{1}{4AH^2}+\frac{1}{BC^2}$ (đpcm)