Tìm GTLN của:
A=ab/c+1 + bc/c+1 + ac/b+1
biết a,b,c>0; a+b+c=1
Các bạn giải dùm mình ngay ạ, mai mình phải nộp rồi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
7 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{ab+c}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+c}{4\left(b+c\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{bc+a}{a+1}\le\frac{bc+a}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc+a}{4\left(a+c\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{ac+b}{4\left(a+b\right)}+\frac{ac+b}{4\left(b+c\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta có:
\(Q\le\frac{a+b+c+3}{4}=1\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
29 tháng 11 2019
Dễ CM đc: \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+1}=1\) với abc=1
\(B=\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+2}\le\frac{1}{16}\left(9\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab+a+1}+3\right)=\frac{1}{16}\left(9.1+3\right)=\frac{3}{4}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
TM
0
N
13 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{c+ab}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{a+bc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{b+ac}}\)\(\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}\)\(=\dfrac{a+b+c}{\sqrt[4]{4abc}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{4abc}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b+c\right).\dfrac{2}{3}}}\)(BĐT Cô-si)\(=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
Vậy Amin=\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
TV
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm GTLN của P=\(\frac{ab}{c+1}\)+\(\frac{bc}{a+1}\)+\(\frac{ac}{b+1}\)
3
TN
18 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\left(a+b+c=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TV
2
6 tháng 10 2021
Ta có : a^2+b^2 +c^2 >= ab+bc+ac ==> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac) => (ab+bc+ac)<= ((a+b+c)^2)/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Áp dụng : được Max B = 3 khi a=b=c=1
HT
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
22 tháng 12 2021
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
1 tháng 9 2017
P = x(x/2+1/yz) + y(y/2+1/zx) + z(z/2+1/xy)
= ½ [x(xyz +2)/(yz) + y(xyz +2)/(xz) + z(xyz +2)/(xy)]
= ½ (xyz +2)[x/(yz) + y/(xz) + z/(xy)] ≥ ½ (xyz +2).3 /³√(xyz)
Lại có: xyz + 2 = xyz + 1 +1 ≥ 3 ³√(xyz)
Suy ra:
P = ½ (xyz +2)[x/(yz) + y/(xz) + z/(xy)] ≥ ½ (xyz +2).3 /³√(xyz)
≥ 3/2 .3 ³√(xyz)/ ³√(xyz) = 9/2
Vậy P min = 9/2
Dấu = xra khi x = y = z = 1
1 tháng 9 2017
Bài 1:
Ta có
A =x/(x+1) +y/(y+1)+z/(z+1)
A= 1- 1/(x+1)+1-1/(y+1) +1-1/(z+1)
A=3- [1/(x+1)+1/(y+1) +1/(z+1) ]
B = 1/(x+1)+1/(y+1) +1/(z+1)
Đặt x+1=a; y+1=b;z+1 =c
=>a+b+c=4
4B=4(1/a+1/b+1/c)
B= (a+b+c) (1/a+1/b+1/c)
4B =3+(a/b+b/a) +(a/c+c/a)+(b/c+c/a)
Từ (a-b)^2 ≥ 0 =>a^2+b^2 ≥ 2ab chia 2 vế cho ab
=> a/b+b/a ≥2 dấu "=" khi a=b
Tương tự có
a/c+c/a ≥2 ;b/c+c/b ≥2
=>4B ≥3+2+2+2=9
=>B ≥ 9/4
=>A ≤ 3-9/4 = 3/4
Vậy max A =3/4 khi a=b=c
=>x=y=z =1/3
Bài 2:
Giúp tui nha