Question

[Linh Thùy]

Cho a+b+c=1 ; a^2+b^2+c^2=1 va a^3+b^3+c^3=1 . Tính P=a^1998+b^1999+c^29000?

Answer 1

[Phan Hồ Minh Trí]

CM đẳng thức: a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

   Ta có : (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=a³+ab²+ac²-a²b-a²c-abc+a²b+b³+bc²-ab²-abc-b²c+a²c+b²c+c³-abc-ac²-bc²=a³+b³+c³-3abc

  Vậy a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

Ta có :  a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

<=>1-3abc=1-ab-ac-bc

<=>3abc=ab+ac+bc          (1)

Ta có : a+b+c=1

<=>(a+b+c)²=1

<=>a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1

<=>1+2(ab+ac+bc)=1

<=>ab+ac+bc=0                (2)

(1),(2)=>3abc <=>abc=0

<=>a=0 hoặc b=0 hoặc c=0

*TH1:a=0 \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b+c=1\\\orbr{\begin{cases}b^2+c^2=1\\b^3+c^3=1\end{cases}}\end{cases}}\)

=>b+c=1;b²+c²=1;b³+c³=1

Ta có : b+c=1

<=>(b+c)²=1

<=>b²+c²+2bc=1

<=>1+2bc=1

<=>2bc=0

<=>bc=0

   -TH1:b=0=>c=1=>P=0¹⁹⁹⁸+0¹⁹⁹⁹+1²⁹⁰⁰⁰=1

   -TH2:c=0=>b=1=>P=0¹⁹⁹⁸+1¹⁹⁹⁹+0²⁹⁰⁰⁰=1

Tương tự với các trường hợp b=0 và c=0 ta cũng chứng minh được P=1

           Vậy P=1

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b+c=1\\\orbr{\begin{cases}b^2+c^2=1\\b^3+c^3=1\end{cases}}\end{cases}}\)