Question

[Hoàng Thị Thu Thảo]

Cho \(\Delta\)ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho DB=EC<\(\frac{1}{2}\)DE.

a) \(\Delta\)ABC là tam giác gì? Vì sao?

b) Kẻ BM\(\perp\)AD; CN\(\perp\)AE. CMR: BM=CN.

c) Gọi I là giao điểm của MB và NC. \(\Delta\)IBC là tam giác gì? CM.

d) CMR: AI là tia phân giác của góc BAC.

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

Giải:
a) Xét \(\Delta ADB,\Delta AEC\) có:
AD = AE ( do t/g ADE cân tại A )

\(\widehat{D}=\widehat{E}\) ( do t/g ADE cân tại A )

DB = EC ( gt )

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AEC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AB=AC\) ( cạnh t/ứng )

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

b) Xét \(\Delta MDB,\Delta NCE\) có:
\(\widehat{M_2}=\widehat{N_2}=90^o\)

BD = CE ( gt )

\(\widehat{D}=\widehat{E}\) ( do t/g ADE cân tại A )

\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta NCE\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow BM=CN\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )

c) Vì \(\Delta MBD=\Delta NCE\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( góc t/ứng )

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2};\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) ( 2 cặp góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I

d) Ta có: \(\widehat{B_3}=\widehat{C_3}\) ( do t/g ABC cân tại A )

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( theo c )

\(\Rightarrow\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có:
AB = AC ( do t/g ABC cân tại A )

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\left(cmt\right)\)

IB = IC ( do t/g IBC cân tại I )

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) ( cạnh t/ứng )

\(\Rightarrow AI\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) ( đpcm )

Vậy...

Answer 2

[Aki Tsuki]

a/ Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:

AD = AE (\(\Delta ADE\) cân tại A)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\) (\(\Delta ADE\) cân tại A)

DB = EC (gt)

=> \(\Delta ADE=\Delta AEC\left(c-g-c\right)\)

=> AB = AC (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta ABC\) cân tại A

b/ Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta MDB\) và \(\Delta NEC\) có:

DB = EC (gt)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\) (đã cm)

=> \(\Delta MDB=\Delta NEC\)(cạnh huyền-góc nhọn)

=> BM = CN (2 cạnh tương ứng)(đpcm)

c/ Xét 2 \(\Delta\)vuông: \(\Delta AMI\) và \(\Delta ANI\) có:

AI: Cạnh chung

AM = AN (đã cm)

=> \(\Delta AMI=\Delta ANI\left(ch-cgv\right)\)

=> MI = NI (2 cạnh tương ứng)

Ta có: BM + IB = MI

CN + IC = NI

mà BM = CN (ý b) ; MI = NI (cmt)

=> IB = IC

=> \(\Delta IBC\) cân tại I

d/ Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AIC\) có:

AB = AC(ý a)

AI: Cạnh chung

IB = IC (đã cm)

=> \(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{IAB}=\widehat{IAC}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia p/g của \(\widehat{BAC}\left(đpcm\right)\)