Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm C, vẽ BD // CE và BD = CE. CMR:
a) \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)CBD
b) CD = CF; BF = CE
c) FD vuông góc với BC
d) Gọi M là trung điểm của BC. CMR: 3 điểm E,M,D thẳng hàng
a) Xét \(\bigtriangleup BCE \) và \(\bigtriangleup CBD\) có:
\(EC=BD\left(gt\right)\)
\(\widehat{ECB}=\widehat{CBD}\)(2 góc sole trong do BD//CE)
\(BC-chung\)
\(\implies \bigtriangleup BCE=\bigtriangleup CBD(c.g.c)\)
b) Có: \(\bigtriangleup BCE=\bigtriangleup CBD(cmt)\)
\(\implies EB=CD\)(1)
Có: AB=CD(gt)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD\Rightarrow EB=CF\)(2)
Từ (1) và (2) \(\implies CD=CF\)
Có: AB=CD(gt)
\(\implies \bigtriangleup ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(2 góc ở đáy)
Xét \(\bigtriangleup ECB\) và \(\bigtriangleup FBC\) có:
\(EB=FC(cmt)\)
\(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\left(cmt\right)\)
\(BC-chung\)
\(\implies \bigtriangleup ECB=\bigtriangleup FBC(c.g.c)\)
\(\implies BF=CE\)(2 cạnh tương ứng)
c) Có: \(\bigtriangleup BCE= \bigtriangleup CBD\)
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Gọi FD giao BC tại N
Xét \(\Delta FCN\) và \(\Delta DCN\) có;
\(CF=CD\)(câu b)
\(\widehat{FCN}=\widehat{DCN}\left(cmt\right)\)
\(CN-chung\)
\(\Rightarrow\Delta FCN=\Delta DCN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CNF}=\widehat{CND}\)(2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{CNF}+\widehat{CND}=180^o\)(2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{CNF}=\widehat{CND}=90^o\Rightarrow FD\perp BC\)
d) Xét \(\Delta EMC\) và \(\Delta DMB\) có:
\(EC=BD\left(gt\right)\)
\(\widehat{ECM}=\widehat{MBD}\)
\(MB=MC\)(vì M-trung điểm BC)
\(\Rightarrow\Delta EMC=\Delta DMB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EMC}=\widehat{DMB}\)(2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{BME}+\widehat{EMC}=180^o\)(2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{BME}+\widehat{DMB}=180^o\)
\(\Rightarrow EM\equiv MD\)
\(\implies E;M;D\) thẳng hàng
_Học tốt_
d) Ta có EC // BD và EC = BD ( tam giác BCE = tam giác CBD )
=> tứ giác BECD là hình bình hành
=> ED giao BC tại trung điểm mỗi đường
Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của ED
=> M, E, D thẳng hàng ( đpcm )