Cho hàm số
y
=
f
x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0
;
1
và
f
0
+
f
1
=
0.
Biết rằng tích phân
∫
0
1
f
2
x
d
x
=
1
2
,
∫
0
1
f
'
x
.
c
o
s
π
x
d
x
=
π
2
.
Tính tích phân
∫
0
1
f
x
d
x
?
A.
3
...
Đọc tiếp
Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 1 và f 0 + f 1 = 0. Biết rằng tích phân ∫ 0 1 f 2 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 f ' x . c o s π x d x = π 2 . Tính tích phân ∫ 0 1 f x d x ?
A. 3 π 2 .
B. 2 π .
C. π .
D. 1 π .
trên [-2;1]
Đáp án B.
Ta có ∫ 0 1 f ' x . c o s π x d x
= ∫ 0 1 c o s π x d f x = f x . c o s π x 0 1 − ∫ 0 1 f x . c o s π x ' d x
= − f 1 + f 0 + π ∫ 0 1 f x . sin π x d x = π 2 ⇒ ∫ 0 1 f x . sin π x d x = 1 2 .
Xét ∫ 0 1 f x + k . sin π x 2 d x = 0
⇔ ∫ 0 1 f 2 x d x + 2 k . ∫ 0 1 f x . sin π x d x + k 2 . ∫ 0 1 sin 2 π x d x = 0
⇔ 1 2 k 2 + 2 k . 1 2 + 1 2 = 0 ⇔ k + 1 2 = 0 ⇔ k = − 1.
Suy ra ∫ 0 1 f x − sin π x 2 d x = 0.
Vậy f x = sin π x ⇒ ∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 sin π x d x = 2 π .