Question

[nguyenhongvan]

giải hệ ; \(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\2x+y=2m+1\end{matrix}\right.\)

a, Với m= -1 . Giai hệ và biểu diễn hình học nghiệm hệ pt

b, Tìm m để P= x² + xy đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Nguyen Thi Trinh]

a/ Thay m=-1 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\2x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=0\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)Vậy khi m=-1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;-1)

b/ Ta có:

ds\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\2x+y=2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=5m+5\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\4\left(m+1\right)+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=-1\end{matrix}\right.\)Thay x=m+1 và y=-1 vào P= \(x^2+xy\) ta được:

P=\(\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right).\left(-1\right)\)

=\(m^2+m\)

=\(m^2+m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)

=\(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)

Ta luôn có: \(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\) với mọi m

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy P=x²+xy đạt giá trị nhỏ nhất là \(-\dfrac{1}{4}\) khi m=\(-\dfrac{1}{2}\)