Bài 10 : 

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=25-9=16\Rightarrow AC=4\)cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\)cm 

b, Vì AE là phân giác ^A suy ra : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}\Rightarrow\frac{CE}{AC}=\frac{BE}{AB}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{CE}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow BE=\frac{5}{7}.3=\frac{15}{7}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9}{5}\)cm 

=> \(HE=BE-BH=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}\)cm 

Áp dụng định lí Pytago tam giác AHE vuông tại H 

\(AE^2=AH^2+HE^2=\left(\frac{12}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{35}\right)^2=\frac{288}{49}\Rightarrow AE=\frac{12\sqrt{2}}{7}\)cm 

a, Ta có : \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow225=81+144\)* đúng *

Vậy tam giác ABC vuông tại A ( pytago đảo )

b, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH 

\(AH.BC=AC.AB\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.9}{15}=\frac{36}{5}\)

c, Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao HE 

Ta có : \(AH^2=AE.AB\)( hệ thức lượng (1)) 

Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HI 

Ta có : \(AH^2=AI.AC\)( hệ thức lượng (2)) 

Từ (1) ; (2) suy ra \(AE.AB=AI.AC\)

\(\sqrt{2x^2+x-9}-\sqrt{x^2-x-6}=0\Rightarrow\sqrt{2x^2+x-9}=\sqrt{x^2-x-6}\Rightarrow2x^2+x-9=x^2-x-6\)

\(\Rightarrow x^2+2x+15=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=2^2-4.1.15=-56< 0\)

suy ra pt vô nghiệm

a. ta có \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13cm\)

b. ta có \(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},cosB=\frac{BA}{BC}=\frac{5}{13},tanB=\frac{AC}{AC}=\frac{12}{5},cotB=\frac{1}{tanB}=\frac{5}{12}\)

ta có \(sinC=\frac{5}{13}\Rightarrow C\simeq23^0\)

ta có a nhọn nên sin, cos ,tan và cotg của a đều là các số dương

nên ta có :

\(cosa=\sqrt{1-sin^2a}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(tana=\frac{sina}{cosa}=\frac{2}{\sqrt{5}},cotga=\frac{1}{tana}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)