Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác , P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D và song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S

1/ Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.

2/ Chứng minh \(\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}\) và D là trung điểm của đoạn thẳng QS.

3/ Khi B, C cố định, điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện trên, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.

a)     Tính CM.CE + BD² theo R.

b)     Chứng minh rằng tích \(\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{DN}\) là một hằng số.

c)     Tìm vị trí của điểm E để tổng \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.

a)     Tính CM.CE + BD² theo R.

b)     Chứng minh rằng tích \(\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{DN}\) là một hằng số.

c)     Tìm vị trí của điểm E để tổng\(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}\)  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.