\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2021c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2021a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2021b}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+\left(a+b+c\right)b}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ab}{c+b}+\frac{ca}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{2012}{2}=1006\)

​​​​

Cậu cộng hai pt với nhau thì được -5y = -5 => y=1

Sau đó thay vào một trong hai pt của hệ pt ban đầu (cái thứ hai sẽ nhanh hơn) được x=4 nhé

đề là giải hệ phương trình hả bạn ? \(\hept{\begin{cases}-x-3y=-7\\x-2y=2\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) hệ pt tương đương \(\hept{\begin{cases}-5y=-5\\x-2y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x-2y=2\end{cases}}\)

Thay vào ta được : \(x-2=2\Leftrightarrow x=4\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm của ( x ; y ) = ( 4 ; 1 )

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+x+4}=a\\\sqrt{x^2+x+1}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b=\sqrt{a^2+b^2+4}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4\)

\(\Leftrightarrow ab=2\)

Lại có:

\(a^2-b^2=3\)

Kết hợp cả 2 được hệ

\(\hept{\begin{cases}ab=2\\a^2-b^2=3\end{cases}}\)

Làm nốt

\(a^2+b^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=2\)

\(\Leftrightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-2\)

Theo đề ra: \(P=3\left(a+b\right)+ab\)

\(\Leftrightarrow2P=6\left(a+b\right)+2ab\)

\(=6\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2-2\)

\(=\left(a+b\right)^2+2.3\left(a+b\right)+9-9-2\)

\(=[\left(a+b\right)+3]^2-11\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{1}\left(a+b+3\right)^2-\frac{11}{2}\)

Ta có: \(\left(a+b+3\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+3\right)^2-\frac{11}{2}\ge\frac{-11}{2}\forall a,b\inℝ\)

\(\Leftrightarrow MinP=\frac{-11}{2}\)

\(2\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{8x+4\sqrt{2x-1}-3}\)

\(=2\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}+\sqrt{8x-4+2\sqrt{8x-4}+1}\)

\(=2\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{8x-4}+1\right)^2}\)

\(=2\left|\sqrt{2x-1}-1\right|+\left|\sqrt{8x-4}+1\right|\)

\(=2\left(1-\sqrt{2x-1}\right)+\sqrt{8x-4}+1\)

\(=2-2\sqrt{2x-1}+\sqrt{8x-4}+1\)

\(=2-2\sqrt{2x-1}+2\sqrt{2x-1}+1\)

\(=3\)

\(2\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}+\sqrt{8x+4\sqrt{2x-1}-3}\)Với \(\frac{1}{2}\le x\le1\)

\(=2\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}+\sqrt{8x-4+2\sqrt{8x-4}+1}\)

\(=2\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{8x-4}-1\right)^2}\)

\(=2\left(\sqrt{2x-1}-1\right)+\left(2\sqrt{2x-1}-1\right)\)

\(=2\sqrt{2x-1}-2+2\sqrt{2x-1}-1=-3+4\sqrt{2x-1}\)

sửa đề : \(4x^4+16=4x^4+2.\left(2x^2\right).4+16-16x^2\)

\(=\left(2x^2+4\right)^2-16x^2=\left(2x^2+4-4x\right)\left(2x^2+4+4x\right)\)

Với x >= 0 ; \(x\ne\frac{1}{9}\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}< 1\Leftrightarrow\frac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}-1}< 0\Leftrightarrow\frac{x-2\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{3\sqrt{x}-1}< 0\Rightarrow3\sqrt{x}-1< 0\Leftrightarrow x< \frac{1}{9}\)

Kết hợp với đk vậy : 0 =< x < 1/9