\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=45\left(1\right)\\\left(y+z\right)\left(x+y+z\right)=63\left(2\right)\\\left(z+x\right)\left(x+y+z\right)=54\left(3\right)\end{cases}}\)

lấy (1)+(2)+(3) 

\(\left(x+y+z\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=162\)

\(\left(x+y+z\right)\left(2x+2y+2z\right)=162\)

\(\left(x+y+z\right)^2=81\)

\(x+y+z=9\)

thế vào pt (1)(2)(3) ta đc

\(\hept{\begin{cases}9\left(x+y\right)=45\\9\left(y+z\right)=63\\9\left(z+x\right)=54\end{cases}\hept{\begin{cases}x+y=5\\y+z=7\\z+x=6\end{cases}\hept{\begin{cases}x=5-y\left(4\right)\\z=7-y\left(5\right)\\z+x=6\left(6\right)\end{cases}}}}\)

thế(4);(5) vào (6)

\(5-y+7-y=6\)

\(y=3\)

\(x=5-3=2\)

\(z=7-3=4\)

thử lại lấy x+y+z \(3+2+4=9\left(TM\right)\)

góp ý nhỏ cho bài của bạn Như Quỳnh

Đoạn \(\left(x+y+z\right)^2=81\) ta phải có hai trường hợp là 

-9 và 9, trong cả hai trường hợp ta đều giải ra nghiệm thỏa mãn.

b. rõ ràng (0,0,0) là nghiệm của hệ

Xét x khác 0 dễ dàng ta chỉ ra được y và z khác 0

khi đó hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=5\\12\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=7\\4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}}\) vậy hệ có hia nghiệm (0,0,0) và (2,3,4)

\(c.\frac{2x^2}{1+x^2}.\frac{2y^2}{1+y^2}.\frac{2z^2}{1+z^2}=xyz\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=0\\\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}=1\end{cases}}\)

\(xyz=0\Rightarrow x=y=z=0\) còn \(\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}=1\)

ta có \(1+x^2\ge2x\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x^2}\le1\)

tương tự ta có : \(\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}\le1\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z =1 

Vậy hệ có hai nghiệm (0,0,0) và (1,1,1)

a. ta có : \(P=\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)=\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x}}\)

b.\(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=2\left(2-\sqrt{3}\right)=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)

Vậy \(P=\frac{\left(\sqrt{3}-1+1\right)^2}{\sqrt{3}-1}=\frac{3}{\sqrt{3}-1}=\frac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\)

c. ta có \(P=\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x}}\ge\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=4>2\)

d.\(P\sqrt{x}=\left(1+\sqrt{x}\right)^2=6\sqrt{x}-3-\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4+\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+\sqrt{x-4}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-2=0\\\sqrt{x-4}=0\end{cases}\Leftrightarrow x=4}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{\sqrt{3}+1}}+\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{\sqrt{3}+1}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{\sqrt{3}+1}}{1-\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=-2\)

Độ dài cạnh huyền là: \(5.2=10\left(cm\right)\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a,b\left(cm\right);a,b>0\).

Ta có: \(ab=4.10=40\)

\(a^2+b^2=10^2=100\Rightarrow\left(a+b\right)^2=100+2ab=180\Rightarrow a+b=6\sqrt{5}\)

Do đó \(a,b\)là hai nghiệm của phương trình \(X^2-6\sqrt{5}X+40=0\)

\(\Leftrightarrow\left(X-4\sqrt{5}\right)\left(X-2\sqrt{5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}X=4\sqrt{5}\\X=2\sqrt{5}\end{cases}}\)

Do đó độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(4\sqrt{5}\left(cm\right),2\sqrt{5}\left(cm\right)\).

\(\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{2^2+4\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{2^2-4\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}}\)

\(=\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2+\sqrt{2}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\left(3+2\sqrt{2}\right)}{2+2\sqrt{2}}+\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)}{2\sqrt{2}-2}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)^2}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)

\(=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(=2\sqrt{2}\)

Vì \(\Delta BDH~\Delta ADC\) nên \(DB.DC=DH.DA=\frac{1}{2}AD^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}AD\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(BC=DB+DC\ge2\sqrt{DB.DC}=AD\sqrt{2}\)(không đổi)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(DB=DC\).

Cách dựng tam giác ABC thỏa mãn ycbt với thước và compass:

B1: Vẽ đường tròn đường kính AD, lấy E trên (AD) sao cho \(HE\perp AD\)

B2: Vẽ đường tròn \(\left(D;DE\right)\) và đường kính BC của nó sao cho \(BC\perp AD\)

Với \(x>0;x\ne1\)

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)=\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1\)

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}\right)\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=\frac{1+\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=1\)

Giải phương trình:

2x - 5 căn x + 3 = 0

x=1, x=9/4

nha bạn chúc bạn học tốt 

\(2x-5\sqrt{x}+3=0\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow2t^2-5t+3=0\)

\(\Delta=25-4.3.2=25-24=1>0\)

pt có 2 nghiệm phân biệt 

\(t_1=\frac{5-1}{4}=1;t_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}\)

Theo cách đặt : \(\Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{9}{4}\)

Nhầm nha mn 

\(\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)^2-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)^2-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{5+4+4\sqrt{5}-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{9-4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{\sqrt{5}^2-4\sqrt{5}+2^2}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-2}{2}\)