b) Bạn đã chứng minh được tứ giác EKFC là hình bình hành ở câu a, mà EF cắt CK tại I \(\Rightarrow\)I là trung điểm EF (tính chất hình bình hành)

\(\Rightarrow AI\)là trung tuyến của \(\Delta AEF\)

Mà \(\Delta AEF\)vuông tại A \(\Rightarrow AI=\frac{1}{2}EF\)(tính chất tam giác vuông)

Lại có \(EI=\frac{1}{2}EF\)do I là trung điểm của đoạn EF \(\Rightarrow AI=EI\left(=\frac{1}{2}EF\right)\)

Mặt khác \(BE\perp AF\), \(MI\perp AF\left(gt\right)\)\(\Rightarrow BE//MI\)(quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà tứ giác BEFD là hình bình hành \(\Rightarrow BD//EF\)(tính chất hình bình hành)

\(\Rightarrow BM//EI\)(vì \(M\in BD;I\in EF\))

Xét tứ giác BEIM có \(BE//MI\left(cmt\right);BM//EI\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)Tứ giác BEIM là hình bình hành (định nghĩa)

\(\Rightarrow BM=EI\)(tính chất hình bình hành)

Mà \(AI=EI\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow AI=BM\left(=EI\right)\left(đpcm\right)\)

c) Do tứ giác BEFD là hình bình hành \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BE//DF\\BE=DF\end{cases}}\)(tính chất hình bình hành)

Mà \(\hept{\begin{cases}BE\perp CF\\BE=CF\end{cases}}\left(gt\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}DF\perp CFtạiF\\DF=CF\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)F nằm trên đường trung trực của đoạn CD và \(\Delta CDF\)vuông cân tại F

\(\Rightarrow\widehat{DCF}=45^0\)

\(\Delta ABC\)vuông cân tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=45^0\)

 \(\Rightarrow\widehat{BCD}=180^0-\widehat{ACB}-\widehat{DCF}=180^0-45^0-45^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta BCD\)vuông tại C.

Xét hình thang BEFD (BE//DF) ta có I là trung điểm EF (cmt) và IM//BE (cmt) \(\Rightarrow\)M là trung điểm của đoạn BD

\(\Rightarrow\)CM là trung tuyến của \(\Delta BCD\)

Mặt khác \(\Delta BCD\)vuông tại C \(\Rightarrow CM=\frac{1}{2}BD\)(tính chát tam giác vuông)

Mà \(DM=\frac{1}{2}BD\)do M là trung điểm BD \(\Rightarrow DM=CM\left(=\frac{1}{2}BD\right)\)

\(\Rightarrow\)M nằm trên đường trung trực của đoạn CD.

Mà F cũng nằm trên đường trung trực của đoạn CD (cmt)

\(\Rightarrow\)MF là đường trung trực của đoạn CD \(\Rightarrow\)C đối xứng với D qua MF (đpcm)

\(4x+6y=2.\left(2x+3y\right)\)

\(2x.\left(x+y\right)+3.\left(x+y\right)=\left(2x+3\right).\left(x+y\right)\)

\(xy.\left(x-3\right)-2.\left(3-x\right)=-xy.\left(3-x\right)-2.\left(3-x\right)=\left(3-x\right).\left(-xy-2\right)\)

\(x^2-4x+4-y^2\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)-y^2\)

\(=\left(x-2\right)^2-y^2\)

\(=\left(x-2-y\right).\left(x-2+y\right)\)

\(x^2+4x-2xy-4y+y^2\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(4x-4y\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2+4.\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right).(x-y+4)\)

18𝑥2−24𝑥+8−9𝑥2+4=0

18x^{2}-24x+{\color{#c92786}{8}}-9x^{2}+{\color{#c92786}{4}}=018x2−24x+8−9x2+4=0

18𝑥2−24𝑥+12−9𝑥2=0

𝑥=2𝑥=2/3

2(3x - 2)² - 9x² + 4 = 0

<=> 2(9x² - 12x + 4) - 9x² + 4 = 0

<=> 9x² - 24x + 12 = 0

<=> 9x² - 18x - 6x + 12  = 0

<=> 9x(x - 2) - 6(x - 2) = 0

<=> (9x - 6)(x - 2) = 0 

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\9x-6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

TL

x=2/3

x=2

2(3𝑥−2)2−9𝑥2+4=0

2\left(3x-2\right)^{2}-9x^{2}+4=02(3x−2)2−9x2+4=0

2(3𝑥−2)(3𝑥−2)−9𝑥2+4=0

2(3𝑥−2)(3𝑥−2)−9𝑥2+4=0

2{\color{#c92786}{(3x-2)(3x-2)}}-9x^{2}+4=02(3x−2)(3x−2)−9x2+4=0

2(3𝑥(3𝑥−2)−2(3𝑥−2))−9𝑥2+4=0

x = 2 

x = 2/3