\(\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}< =>x=3\)

\(MIN=2\sqrt{3}\)

b, \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\x-y=m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy=1\\y=x-m\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\left(x+x-m\right)^2-2x\left(x-m\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-m\right)^2-2x\left(x-m\right)=1\Leftrightarrow4x^2-4xm+m^2-2x^2+2xm=1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2mx+m^2-1=0\)

Để hệ pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right).2=4m^2-8m^2+8=-4m^2+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

a)

\(B=\frac{x+3}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{3-\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+3}{x-9}+\frac{2\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+3+2\sqrt{x}+6+\sqrt{x}+3}{x-9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}+x+14}{x-9}\)

cái ngôn ngữ j zậy ta ? =_=

\(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

\(< \frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2}}\)(\(n\)số hạng) 

\(=\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1\)

Ta có đpcm. 

a/

\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{BCD}\)

\(\Rightarrow AB.BC.\sin\widehat{ABC}=AB.BD.\sin\widehat{ABD}+BC.BD.\sin\widehat{CBD}\)

\(\Rightarrow6.12.\sin120^o=6.BD.\sin60^o+12.BD.\sin60^o=18.BD.\sin60^o\)

\(\Rightarrow BD=\frac{72.\sin120^o}{18.\sin60^o}=\frac{4.2.\sin60^o.\cos60^o}{\sin60^o}=8.\cos60^o=4cm\)

b/

Ta có \(BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6cm=AB\)

=>Ta, giác ABM cân tại B mà BD là phân giác của \(\widehat{B}\Rightarrow BD\perp AM\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

c/ Theo tính chất đường phân giác trong tam giác

Ta có \(\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) 

\(\Rightarrow AD=\frac{AC}{3}\)

Gọi E là giao của BD và AM

Xét tg vuông ABE có \(\widehat{BAE}=90^o-\widehat{ABD}=90^o-60^o=30^o\Rightarrow BE=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3cm\)

\(\Rightarrow DE=BD-BE=4-3=1cm\)

Ta có \(AE^2=AB^2-BE^2=6^2-3^2=27\)

Xét tg vuông ADE có

\(AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}cm\)

Mà \(AD=\frac{AC}{3}\Rightarrow AC=3AD=3.2\sqrt{7}=6\sqrt{7}cm\)

x, y > 0

\(=\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\cdot\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]\cdot\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\left(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}\right)+\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}{xy}\cdot\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)+\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{xy}}\cdot\frac{\left(x+y\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

Ta có : \(A=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{4}=\frac{\sqrt{x}}{4}+\frac{\sqrt{y}}{4}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{xy}}{4\cdot4}}=2\sqrt{\frac{\sqrt{16}}{16}}=1\)( AM-GM )

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 4 . Vậy MinA = 1